Integrais de linha – caso escalar
Calcule a massa da curva cujo traço é a parte da elipse no primeiro quadrante com densidade .
Passo 1
O problema nos pede a massa da curva, sendo que nos foi dada a densidade de massa . Sendo um comprimento infinitesimal do fio e o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:
Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva que representa o fio, temos o seguinte:
Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.
Passo 2
Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva né? Temos a seguinte equação:
Como se trata de uma elipse, a boa é usar coordenadas elípticas. Para cancelar esses denominadores e , vamos fazer o seguinte:
Assim, substituindo essas definições na equação da elipse, satisfazemos a identidade .
Logo, uma parametrização para a nossa curva seria
Como temos apenas o 1º quadrante, .
Passo 3
Vamos, agora, calcular :
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Podemos, então, substituir na fórmula abaixo, escrevendo em função de , nosso parâmetro:
Com a parametrização a função que vamos integrar
Passa a ser
Então a integral fica
Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para na parametrização!
Passo 6
Agora falta resolver a integral né? Vamos fazer: