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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 13

13. Calcule ∫ γ x d x + d y + 2 d z , onde γ é a interseção do paraboloide z = x 2 + y 2 , com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t no plano x y caminhe no sentido anti-horário.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a integral de linha ∫ γ x d x + d y + 2 d z em que γ é dada pela intersecção entre z = x 2 + y 2 e z = 2 x + 2 y - 1 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesse caso podemos parametrizar nossas coordenadas em função de uma única variavel e calcular a integral normalmente...

Para definir a parametrização e os limites de integração, temos que relacionar as curvas z = x 2 + y 2 e z = 2 x + 2 y - 1 e analisar a intersecção entre elas.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Para descobrir a curva formada pela intersecção entre z = x 2 + y 2 e z = 2 x + 2 y - 1 temos que igualá-las

x 2 + y 2 = 2 x + 2 y - 1

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = - 1

Simplificando...

x - 1 2 - 1 + y - 1 2 - 1 = - 1

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

Dessa forma podemos aplicar uma parametrização polar no problema...

x - 1 = cos ⁡ t → x = cos ⁡ t + 1

y - 1 = sin ⁡ t → y = sin ⁡ t + 1

E como z = 2 x + 2 y - 1 então

z = 2 cos ⁡ t + 1 + 2 sin ⁡ t + 1 - 1

z = 2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t + 3

Temos que substituir d x , d y e d z também, portanto derivamos x , y z = 2 cos ⁡ t + 1 + 2 sin ⁡ t + 1 - 1

e z em relação a t ...

d x d x = d cos ⁡ t + 1 d t → d x = - sin ⁡ t d t

d y d t = d sin ⁡ t + 1 d t → d y = cos ⁡ t d t

d z d t = d 2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t + 3 d t → d z = cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t d t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

t varia de 0 a 2 π , portanto nossa integral de linha pode ser reescrita como

∫ γ x d x + d y + 2 d z → ∫ 0 2 π cos ⁡ t + 1 - sin ⁡ t d t + cos ⁡ t d t + 2 cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t d t

∫ 0 2 π cos ⁡ t + 1 - sin ⁡ t + cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t d t

∫ 0 2 π - sin ⁡ t cos ⁡ t - sin ⁡ t + cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 4 sin ⁡ t d t

∫ 0 2 π - sin ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 5 sin ⁡ t d t

Calculando a integral em relação a t , temos

∫ - sin ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 5 sin ⁡ t d t = - sin 2 ⁡ t 2 + 3 sin ⁡ t + 5 cos ⁡ t

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 π - sin ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 5 sin ⁡ t d t = - sin 2 ⁡ 2 π 2 + 3 sin ⁡ 2 π + 5 cos ⁡ 2 π - - sin 2 ⁡ 0 2 + 3 sin ⁡ 0 + 5 cos ⁡ 0

∫ 0 2 π - sin ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 5 sin ⁡ t d t = - 0 2 + 3 0 + 5 1 - - 0 2 + 3 0 + 5 1

∫ 0 2 π - sin ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 5 sin ⁡ t d t = 0

Portanto, voltando para a nossa integral do princípio, temos

∫ γ x d x + d y + 2 d z = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ γ x d x + d y + 2 d z = 0

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