UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV1 - 2023.1, Questão 2a
Considere o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x² − 3y²)j.
(a) Encontre uma função f tal que F = ∇f;
Passo 1
Olá chefia, como está? Já fez o café? Vai precisar pois hoje é dia de cálculo. E queremos encontrar uma tal função f que se encaixe nos requisitos da questão ali. Primero, temos que encontrar então as derivadas parciais de F
Passo 2
Integrando I com relação a x, obtemos
Observe que a constante de integração é uma constante em relação a x, ou seja, uma função de y, que chamamos g(y). Em seguida, derivamos ambos os lados de II em relação a y:
Comparando II com IV
Integrando com relação a y, obtemos
onde K é uma constante. Substituindo em III, temos
como a função potencial desejada, pois pode assumir quais quer valores nos conjuntos dos número Reais. Um forte abraço e até a próxima.