Considere o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x² − 3y²)j.

(a) Encontre uma função f tal que F = ∇f;

Passo 1

Olá chefia, como está? Já fez o café? Vai precisar pois hoje é dia de cálculo. E queremos encontrar uma tal função f que se encaixe nos requisitos da questão ali. Primero, temos que encontrar então as derivadas parciais de F

f x x , y = 3 + 2 x y     ( I )

f y x , y = x 2 - 3 y 2     ( I I )

Passo 2

Integrando I com relação a x, obtemos

f x , y = 3 x + x 2 y + g y     ( I I I )

Observe que a constante de integração é uma constante em relação a x, ou seja, uma função de y, que chamamos g(y). Em seguida, derivamos ambos os lados de II em relação a y:

f y x , y = x 2 + g ' y       ( I V )

Comparando II com IV

g ' y = - 3 y 2

Integrando com relação a y, obtemos

g y = - y 3 + K

onde K é uma constante. Substituindo em III, temos

f x , y = 3 x + x 2 y - y 3 + K

como a função potencial desejada, pois K pode assumir quais quer valores nos conjuntos dos número Reais. Um forte abraço e até a próxima.

Resposta

f x , y = 3 x + x 2 y - y 3 + K

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