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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 1d

Calcule a integral de linha

∫ γ x y d x   +   ( x - y ) d y   s e n d o   γ   s e g m e n t o s   d e   r e t a   d e   ( 0 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 )   e   d e   ( 2 ,   0 )   a   ( 3 ,   2 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a integral de linha

∫ γ x y d x   +   ( x - y ) d y   s e n d o   γ   s e g m e n t o s   d e   r e t a �� d e   ( 0 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 )   e   d e   ( 2 ,   0 )   a   ( 3 ,   2 ) .

Lembram como calculamos uma integral de linha? Vamos revisar.

Note que nesse caso, não estamos integrando em d s , mas sim em d y , como contornamos esse problema. Bem queremos calcular

∫ γ f ( x , y ) d x + g ( x , y ) d y     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

como

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,

então

( d x , d y ) = ( γ ' ( t ) )

Então, nossa integral de linha é dada por:

∫ γ f ( x ( t ) , y ( t ) ) d x + g ( x ( t ) , y ( t ) ) d y     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

∫ γ x y d x   +   ( x - y ) d y   s e n d o   γ   s e g m e n t o s   d e   r e t a   d e   ( 0 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 )   e   d e   ( 2 ,   0 )   a   ( 3 ,   2 ) .

Vamos começar calculando a parametrização dos segmentos de retas.

O primeiro sendo de ( 0 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 ) . Logo como queremos um segmento de reta, sua parametrização será dada por:

γ 1 ( t ) = ( 0,0 ) + ( 2,0 ) t ,   0 ≤ t ≤ 1

O primeiro segundo de ( 2 ,   0 )   a   ( 3 ,   2 ) . Logo como queremos um segmento de reta, sua parametrização será dada por:

γ 2 ( t ) = ( 2,0 ) + ( 1,2 ) t ,   0 ≤ t ≤ 1

Nesse caso, como vamos precisar calcular essa integral em cada segmento separadamente, temos que:

γ 1 ' ( t ) = ( 2,0 )

γ 2 ' ( t ) = ( 1,2 )

então

( d x , d y ) = ( 2,0 )   n o   p r i m e i r o   s e g m e n t o

( d x , d y ) = ( 1,2 )   n o   s e g u n d o   s e g m e n t o

Então nossa integral fica

∫ γ x y d x   ( x - y ) d y

= ∫ 0 1 2 t * 0 * 2   +   ( 2 t - 0 ) * 0   d t + ∫ 0 1 ( 2 + t ) ( 2 t ) * 1   +   ( 2 + t - 2 t ) * 2 d t

Passo 3

∫ 0 1 ( 2 + t ) ( 2 t ) * 1   +   ( 2 + t - 2 t ) * 2 d t

= ∫ 0 1 ( 4 t + 2 t 2 + 4 - 2 t ) d t

= ∫ 0 1 ( 2 t 2 + 2 t + 4 ) d t

Integrando

= 2 / 3 t 3 + t 2 + 4 t   | t = 1 t = 0

= 2 / 3 + 1 + 4

= 17 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 17 / 3

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