Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Ver Teoria
Exercício 561234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545557585960

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 1d

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(d) ∫ C x y z   d s , C :   x = 2   s e n   t ,     y   = t ,   z   = − 2   c o s   t ,   0   ≤   t   ≤   π .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C x y z   d s , C :   x = 2   s e n   t ,     y   = t ,   z   = − 2   c o s   t ,   0   ≤   t   ≤   π .

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C f ( x , y ,   z ) d s = ∫ a b f ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral ∫ C x y z   d s , C :   x = 2   s e n   t ,     y   = t ,   z   = − 2   c o s   t ,   0   ≤   t   ≤   π .

Então,

∫ 0 π ( 2   s e n   t ) ( t )   ( − 2   c o s   t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t .

Passo 3

Vamos calcular ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 , sendo

d x d t = 2   c o s   t

d y d t = 1

d z d t = 2   s e n   t

Assim,

( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 = 1 + 4 ( s e n 2 t + c o s 2 t ) = 1 + 4 ( 1 ) = 5 .

Passo 4

Voltando para a integral

∫ 0 π ( 2   s e n   t ) ( t )   ( − 2   c o s   t ) 5 d t = - 2 5 ∫ 0 π t   s e n   (   2   t )   d t .

Resolvendo por integração por partes, u = t e d u =   d x , d v = s e n ( 2   t )   d t e v = - 1 2 c o s ( 2   t ) . Então

- 2 5 ∫ 0 π t   s e n (   2   t )   d t = 5   [ ( t   c o s ( 2   t ) | π 0 - ∫ 0 π c o s ( 2   t )   d t ] = 5   [ ( π   - s e n ( 2   t ) 2 | π 0 ] = 5 π

∫ C x   y   z   d s = 5 π .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C x   y   z   d s = 5 �� .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a metade é a metade do círculo x 2 + y 2 = 16
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = c o s 3 t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í