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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 1e

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(e) ∫ C z   d x   +   x   d y   +   y   d z , C : x   =   t 2   ,   y   =   t 3 ,   z   =   t 2 ,   0   ≤   t   ≤   1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C z   d x   +   x   d y   +   y   d z , C : x   =   t 2   ,   y   =   t 3 ,   z   =   t 2 ,   0   ≤   t   ≤   1 .

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C z   d x   +   x   d y   +   y   d z = ∫ 0 1 z ( t )   d x d t d t   + ∫ 0 1   x   ( t )   d y d t d t   + ∫ 0 1   y   ( t )   d z d t d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral ∫ C z   d x   +   x   d y   +   y   d z , C : x   =   t 2   ,   y   =   t 3 ,   z   =   t 2 ,   0   ≤   t   ≤   1 .

Então,

∫ 0 1   t 2   d x d t d t   + ∫ 0 1     t 2   d y d t d t   + ∫ 0 1     t 3   d z d t d t .

Passo 3

Vamos calcular

d x d t = 2   t

d y d t = 3   t 2

d z d t = 2   t .

Assim,

∫ 0 1   t 2   d x d t d t   + ∫ 0 1     t 2   d y d t d t   + ∫ 0 1     t 3   d z d t d t = ∫ 0 1   t 2   2   t d t   + ∫ 0 1     t 2 3   t 2 d t   + ∫ 0 1     t 3   2   t d t .

Passo 4

Vamos resolver as integrais

2 ∫ 0 1   t 3   d t   + 3 ∫ 0 1     t 4   d t   + 2 ∫ 0 1     t 4 d t = 2 ∫ 0 1   t 3   d t   + 5 ∫ 0 1     t 4   d t  

2 ∫ 0 1   t 3   d t   + 5 ∫ 0 1     t 4   d t = 1 2 t 4 + t 5 | 0 1 = 1 2 + 1 = 3 2 .

Assim,

∫ C z   d x   +   x   d y   +   y   d z = 3 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C z   d x   +   x   d y   +   y   d z = 3 2 .

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