Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Ver Teoria
Exercício 571234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556585960

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 1a

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(a) ∫ C y 3 d s , C   : �� x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C y 3 d s , C   :   x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C y 3 d s = ∫ a b f ( x ( t ) ,   y ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral

∫ C y 3 d s , C   :   x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2 .

Então, temos

∫ 0 2 y ( t ) 3 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t .

Passo 3

Vamos calcular ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 , sendo

d x d t = d t 3 d t = 3 t 2

d y d t = d t d t = 1

Assim,

( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = ( 3   t 2 ) 2 + ( 1 ) 2

( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = 1 + 9   t 4 .

Passo 4

Voltando para a integral

∫ 0 2 t 3 1 + 9   t 4 d t .

Resolvendo por substituição simples, u = 1 + 9   t 4 e d u = 36   t 3 d t

∫ 0 2 t 3 1 + 9   t 4 d t = ∫ t = 0 2 1 36 u   d u = 1 36 2 3 ( 1 + 9 t 4 ) 3 2 | 2 0 = 1 36 2 3 [ ( 145 ) 3 2 - 1 ]

∫ C y 3 d s = 145 145 - 1 54 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C y 3 d s = 145 145 - 1 54 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a metade é a metade do círculo x 2 + y 2 = 16
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = c o s 3 t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í