Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Ver Teoria
Exercício 371234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363839404142434445464748495051525354555657585960

Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 02

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y d s   ,                     C :         x = t 2   ,   y = 2 t   ,       0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Galera, mais uma quesão de integral de linha e vamos começar em grande estilo!

Nosso enunciado nos deu a seguinte informação sobre o intervalo de t :

0 ≤ t ≤ 1

Então o nosso intervalo de integração é:

∫ 0 1 x y   d S

Outra informação que o enunciado nos deu foi:

x = t 2  

y = 2 t

Então nossa expressão dentro da integral:

x y

Quando substituímos os valores de x e y se torna:

x y = t 2 ⋅ 2 t = 2 t 3 → ∫ 0 1 x y   d S = ∫ 0 1 2 t 3   d S

Passo 2

Agora vamos calcular o valor de d S que segue a expressão:

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Substituindo os valores de x e y que nós já sabemos:

x = t 2  

y = 2 t

Temos:

d s = d t 2 d t   2 + d 2 t d t 2   d t

Vamos resolver essa expressão para voltarmos a nossa integral:

d s = 2 t 2 + 2 2   d t

d S = 4 t 2 + 4   d t

Chegamos em:

d S = 2 t 2 + 1   d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C x y d s = ∫ 0 1 2 t 3   d S = ∫ 0 1 4 t 3 t 2 + 1   d t

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida, substituindo:

u = t 2 + 1

d u = 2 t   d t

Nossa integral se altera em:

∫ 0 1 4 t 3 t 2 + 1   d t = ∫ 1 2 2 u - 1 u   d u

Podemos modificar para:

∫ 1 2 2 u - 1 u   d u = ∫ 1 2 2 u 3 2 - u 1 2 d u

Integrando, chegamos em:

∫ C x y d s = 2 u 5 2 5 2 - u 3 2 3 2 1 2 = 4 u 5 2 5 - u 3 2 3 1 2

Fazendo a substituição dos valores do intervalo de integração:

∫ C x y d s = 4 ⋅ 2 5 2 5 - 2 3 2 3 - 1 5 2 5 - 1 3 2 3  

Resolvendo:

∫ C x y d s = 4 ⋅ 4 2 5 - 2 2 3 - 1 5 - 1 3  

∫ C x y d s = 4 15 12 2 - 10 2 - 3 + 5

Chegamos no nosso resultado final:

∫ C x y d s = 8 15 2 + 1

AE! Acabou!!

Resposta

8 15 2 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a metade é a metade do círculo x 2 + y 2 = 16
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = c o s 3 t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í