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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 1b

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(b) ∫ C x   s e n   y   d s , C é o segmento de reta que liga ( 0 ,   3 )   a   ( 4 ,   6 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C x   s e n   y   d s , C é o segmento de reta que liga ( 0 ,   3 )   a   ( 4 ,   6 )

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x ( t ) ,   y ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral

∫ C y 3 d s , C   :   x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2 .

Então, temos que construir a equação da reta y ( x ) que liga os pontos ( 0 ,   3 )   e   ( 4 ,   6 ) , assim

∫ 0 4 x   s e n   y ( x )   1 + ( d y d x ) 2 d x .

Passo 3

Temos que a equação da reta é dada por

y ( x ) = [ 6 - 3 4 - 0 ] x - y ( 0 ) = 3 4 x - 3 .

Vamos calcular 1 + ( d y d x ) 2 , sendo

d y d x = 3 4

Assim,

1 + ( d y d x ) 2 = ( 3 4 ) 2 + 1 = 30 4 .

Passo 4

Voltando para a integral

∫ 0 4 x   s e n   y ( x )   1 + ( d y d x ) 2 d x = 30 4 ∫ 0 4 x   s e n   ( 3 4 x - 3 )   d x .

Resolvendo por integração por partes, u = x e d v = s e n   ( 3 4 x - 3 ) d x . Então

v = 4 3 c o s ( 3 4 x - 3 ) e d u = d x

Substituindo na integral:

30 4 ∫ 0 4 x   s e n   ( 3 4 x - 3 )   d x = 30 4 [ 4 x 3 c o s ( 3 4 x - 3 ) - 4 3 ∫ 0 4 c o s ( 3 4 x - 3 ) d x ] | 4 0

30 4 ∫ 0 4 x   s e n   ( 3 4 x - 3 )   d x = 30 4 [ 4 2 3 - 4 2 3 2 s e n ( 3 4 x - 3 ) | 4 0 ] = 30 4 [ 4 2 3 - 4 2 3 2 s e n ( 3 ) ]

∫ C x   s e n   y   d s = 8 30 9 s e n ( 3 ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C x   s e n   y   d s = 8 30 9 s e n ( 3 ) .

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