Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 04
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
Passo 1
Bom dia pra quem é de bom dia e boa noite pra quem ta madrugando, queridos terráqueos!
Nós temos em nossas mãos essa integral de linha para resolver:
E como o enunciado nos disse que a curva é definida por:
Vamos relembrar que a equação da reta tem o formato:
Vamos considerar que o valor de é:
Então:
Vamos calcular quem é o valor de , para isso precisamos encontrar os valores de e , vamos começar pelo ponto :
Então acabamos de descobrir que o valor de é . Vamos descobrir o valor de , usando o ponto :
Encontramos que o valor de :
Voltando a equação da reta:
Então o valor de em relação a :
Por outro lado, se o valor de vai variar do ponto até , então o intervalo de é:
Nosso intervalo de integração é o mesmo:
Aplicando os nossos valores de e :
Agora que já temos a integral de linha, temos que calcular !
Passo 2
A derivada é conhecida por ser igual a
Como nossos valores de e são:
Aplicamos em nossa derivada:
Essa derivada resulta em:
Molezinha, então vamos juntar todas essas informações, podemos escrever:
Temos que resolver a seguinte integral:
Passo 3
Agora vamos resolver a integral obtida, por partes:
Substituiindo os valores do intervalo de integração e a segunda derivada:
Acabamos em: