Seja a curva cujo traço é a parte da elipse no primeiro quadrante.
Calcule a massa de C, sendo a densidade .
Passo 1
Na teoria, a gente viu que a massa de uma curva é dada pela integral de linha:
A densidade a gente já tem, . Então, fica só faltando parametrizar a curva e calcular . Vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos deu a equação da elipse da seguinte forma:
Pra poder parametrizar isso, vamos precisar usar a relação fundamental trigonométrica que diz isso aqui
Portanto
Agora o mesmo para
Ele tem parametrização:
Mas como só temos o pedaço do primeiro quadrante:
Passo 3
Vamos lembrar a fórmula de
Precisamos colocar as derivas da parametrização dentro da raiz, certo? Vamos calcular elas aqui rapidinho então
E agora é só jogar na integral!
Passo 4
Voltando lá, o que a gente queria calcular era:
Que parece meio estranho de calcular, mas podemos resolver fazendo a substituição:
Então vamos ter:
E aplicando os limites de integração, temos: