UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 2b
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
b)
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para determinar o limite da expressão dada caso ele exista. No caso de uma função de uma única variável, o cálculo de um limite é feito de maneira relativamente simples, afinal de contas, só podemos nos aproximar de um valor de x pela sua esquerda ou pela direita.
Mas no caso de uma função de duas variáveis, de quantas formas podemos nos aproximar de um ponto pelo plano? Infinitas! Então, para que o limite de uma função de duas variáveis exista, precisamos que ele seja o mesmo para qualquer que seja o caminho escolhido. Então bora ver se isso ocorre para a função dada!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar nos aproximar da origem através de uma reta arbitrária que passe pela origem, escrita como
Fazendo isso, podemos substituir y na função e verificar o que ocorre quando x (e consequentemente, y também) vai à zero. Assim, escrevemos
Como , temos que, conforme x se aproxima de zero, a expressão vai à zero, pois o numerador se anula e o denominador não. Então, por essa curva, temos que o limite é zero. Agora, vamos tentar nos aproximar da origem por uma curva diferente: uma parábola!
Escolhendo uma curva com equação da forma
Podemos reescrever a função f(x,y) e verificar o que ocorre quando nos aproximamos de x = 0.
Novamente, temos que o limite quando nos aproximamos da origem é zero. Então, começamos a suspeitar que talvez o limite exista e que ele é igual a zero. No entanto, provar que por dois caminhos o limite existe, não significa que ele exista para qualquer caminho possível. Então bora tentar alguma outra forma de provar que o limite existe!
Passo 3
Para verificar se o limite existe, vamos considerar um . Procuramos um tal que, para pontos à uma distância menor que da origem, o módulo da função menos 0 seja sempre menor que . Então, queremos encontrar tal que
Se ,então
Ou, alternativamente, como x⁴+2y⁴ e x⁴ são sempre positivos:
Se ,então
Com x⁴ é sempre menor ou igual à x⁴+2y⁴, temos que a razão entre esses dois fatores é sempre menor ou igual à 1
Então, se multiplicarmos por isso, no máximo obtemos , ou algo menor. Por outro lado, podemos escrever o módulo de y como e, como isso é sempre menor ou igual à temos
Então, sabendo que , podemos escrever
Assim, se escolhermos então um temos que
Então para qualquer arbitrariamente pequeno, sempre encontramos um tal que, a função em qualquer ponto a uma distância menor que este , é sempre menor que . Então, quando (x,y) tende à (0,0), a função f(x,y) tende à zero.