Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine o seguinte limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2

Passo 1

Fala a�� galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Seguinte, para sabermos se esse limite existe, a primeira regra que precisamos lembrar é que os limites laterais precisam ser iguais, certo?

Só que, quando estamos falando de funções com várias variáveis, se torna mais simples provar que o limite não existe do que mostrar que ele existe.

Aqui nós vamos fazer o método dos caminhos, aonde nós vamos escolher alguma curva ou reta que passe pelo ponto que de “problema” (No caso, x , y = ( 0,0 ) ).

Vamos lá.

Passo 2

O primeiro caminho que vamos escolher vai ser o eixo x . No caso, vai ser quando:

x , y = ( x , 0 )

Substituindo:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2 = lim x → ( 0 ) ⁡ x 2 x 2 + 0 2

lim x → ( 0 ) ⁡ x 2 x 2 + 0 2 = lim x → ( 0 ) ⁡ x 2 x 2 = 1

Show, descobrimos que quando pegamos o caminho pelo Eixo x , o limite vai dar 1.

Agora, vamos usar o caminho pelo eixo y . No caso, vai ser quando:

x , y = ( 0 , y )

Substituindo:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2 = lim x → ( 0 ) ⁡ 0 2 0 2 + y 2

lim x → ( 0 ) ⁡ 0 2 0 2 + y 2 = lim x → ( 0 ) ⁡ 0 2 y 2 = 0

Opa, olha só. Quando chegamos perto do nosso ponto pelo caminho do eixo y , o valor do limite deu diferente. Logo, o limite da nossa função em torno do ponto x , y → ( 0,0 ) não existe.

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e .

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