UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 2a
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para determinar o limite da expressão dada caso ele exista. No caso de uma função de uma única variável, o cálculo de um limite é feito de maneira relativamente simples, afinal de contas, só podemos nos aproximar de um valor de x pela sua esquerda ou pela direita.
Mas no caso de uma função de duas variáveis, de quantas formas podemos nos aproximar de um ponto pelo plano? Infinitas! Então, para que o limite de uma função de duas variáveis exista, precisamos que ele seja o mesmo para qualquer que seja o caminho escolhido. Então bora ver se isso ocorre para a função dada!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar nos aproximar da origem através de uma reta arbitrária que passe pela origem, escrita como
Fazendo isso, podemos substituir y na função e verificar o que ocorre quando x (e consequentemente, y também) vai à zero. Assim, escrevemos
Como , temos que, conforme x se aproxima de zero, a expressão vai à zero, pois o numerador de anula e o denominador não. Agora, vamos tentar nos aproximar da origem por uma curva diferente: uma parábola!
Passo 3
Se nos aproximarmos da origem pela curva y = x², podemos reescrever a função f(x,y) como
Então, vemos que, se nos aproximarmos da origem pela parábola y = x², temos que a função tende à que, obviamente, é diferente de zero (limite obtido quando nos aproximamos por uma reta). Portanto, concluímos que, para caminhos diferentes, obtemos limites diferente e, então, a função não possui um limite quando
Resposta
O limite não existe.