UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2023.1 – Questão 1b
Verifique se os seguintes limites existem e, se eles existem, calcule-os:
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Antes da gente começar a resolver, precisamos lembrar da condição para um limite existir. E a primeira delas é que os limites laterais precisam ser iguais. Certo?
Porém, quando trabalhamos com uma função de várias variáveis, se torna um pouco mais complexo pois precisamos analisar todos os possíveis caminhos em torno daquele ponto, o que podem ser infinitos caminhos. Mas para essa função aqui, vamos usar o Teorema do Anulamento.
Se liga, o teorema do anulamento consiste:
Aonde:
Podemos então afirmar que
É isso que vamos usar para achar o resultado da nossa questão. Então, vamos lá:
Passo 2
Antes de tudo, vamos separar a nossa função em duas:
Vamos primeiro calcular o limite da primeira função:
Show, a primeira já satisfez uma parte das regras do Teorema. Agora, precisamos provar que a segunda função é limitada.
Passo 3
Antes de tudo, importante explicar o que é uma função limitada. Uma função limitada é aquela em que você consegue determinar o intervalo exato aonde podemos achar todos os valores possíveis daquela função. Certo?
Para começar, precisamos estabelecer a seguinte relação. Como qualquer número elevado a um expoente par vai ser positivo, podemos então dizer o seguinte:
Além disso, aproveitando a mesma afirmação feita antes, podemos dizer:
Agora, vamos dividir tudo pelo último termo da nossa relação:
Simplificando:
Opa, olha só, acabamos de descobrir que a nossa função vai ter todos os seus possíveis valores entre . Com isso, conseguimos provar que a nossa segunda função é limitada, respeitando as regras do teorema. Logo: