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Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

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Enunciado

UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 6 – Questão 01b

Uma partícula de massa m executa um movimento circular, descrito pelo vetor posição

r → =   R [ c o s θ t i ^ +   s e n θ t j ^ ] ;  

em que θ t = θ 0 + ω 0 t   + α t 2 / 2 , com R ,   θ 0 ,   ω 0 e α constantes positivas.

(b) mostre que v → são perpendiculares ao vetor r → ;

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão é uma continuação, então vamos lá! No item (a) foi pedido para calcular os vetores velocidade e aceleração

O que fizemos lá foi derivar componente a componente, aplicando as regras de derivação (que conhecemos lá do cálculo 1) e só!

O resultado foram esses dois vetores aqui:

v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

a → = - R c o s θ ω 0 + α t 2 - R α s e n θ i ^ + - R s e n θ ω 0 + α t 2 - R α c o s θ j ^

Show!

Agora no item (b) o problema nos pediu para mostrar que o vetor velocidade e o vetor posição são perpendiculares entre si!

Mas como faremos isso?

Pelo produto escalar! O produto escalar entre dois vetores a → e b → quaisquer é

a → ⋅ b → = a → b → c o s θ

Então se esses vetores forem perpendiculares, θ = 90 ° e a → ⋅ b → = 0 !

Então a ideia aqui é calcular o produto escalar e verificar que é zero!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

E como calculamos o produto escalar mesmo? É só fazer a soma da multiplicação das componentes dos vetores! Assim ó

a → = a x i ^ + a y j ^ ; b → = b x i ^ + b y j ^

Aí o produto escalar entre eles

a → ⋅ b → = a x b x + a y b y

Beleza?

Agora vamos aplicar isso para nossos vetores!

Passo 3

Nossos vetores são:

v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

r → =   R [ c o s θ i ^ +   s e n θ j ^ ] ;  

Bora fazer multiplicação componente a componente?

v → ⋅ r → = - R s e n θ ω 0 + α t . R c o s θ + R c o s θ ω 0 + α t . R s e n θ    

Ficou grande né? Mas calma! Vamos fazer a multiplicação e ver se conseguimos simplificar alguma coisa!

v → ⋅ r → =   - R 2 ω 0 + α t s e n θ c o s θ + R 2 ω 0 + α t c o s θ s e n θ = 0

Mostramos, portanto, que os vetores r → e v → são perpendiculares entre si! E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

𝑑emonstração

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