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Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

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Enunciado

UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 6 – Questão 01

Uma partícula de massa m executa um movimento circular, descrito pelo vetor posição

r → =   R [ c o s θ t i ^ +   s e n θ t j ^ ] ;  

em que θ t = θ 0 + ω 0 t   + α t 2 / 2 , com R ,   θ 0 ,   ω 0 e α constantes positivas.

(a) Determine os vetores velocidade, v → , e aceleração a → ;

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! O problema deu o vetor posição r → em função de θ . E deu também como θ varia em relação ao tempo.

E na letra (a) foi pedido o cálculo da velocidade e da aceleração. Mas como fazer isso? Bom, vamos lembrar pela definição!

A definição de velocidade é a derivada da posição em função do tempo! E em um vetor posição, isso não seria diferente! Para achar a velocidade, basta derivar o vetor posição em relação ao tempo!

E fazer a derivada de um vetor é bem tranquilo, basta derivar componente a componente! Mas atenção: tem que derivar tudo, até aquele θ ali, pois ele também depende do tempo! (aqui vamos usar a regra da cadeia)

Show!

E a aceleração? Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo! Sendo assim, quando acharmos a velocidade, basta derivar novamente para achar a aceleração!

mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo da velocidade

O vetor posição é:

r → =   R c o s θ t i ^ +   R s e n θ t j ^

Para derivar corretamente, precisamos usar a regra da cadeia, porque θ depende do tempo! A regra da cadeia, com uma função f ( θ ) com θ ( t ) fica o seguinte:

f ' θ = d f d θ . θ '

E isso para cada componente do vetor, ok?

f seria o cosseno para a componente i ^ e o seno para a j ^ . Mas calma, vamos fazer juntos!

Passo 3

Agora a derivada!

  A variável θ varia com o tempo da seguinte forma:

θ t = θ 0 + ω 0 t + α t 2 2

O vetor posição é

r → =   R c o s θ t i ^ +   R s e n θ t j ^

Agora derivando o vetor posição temos o seguinte (considerando R ,   θ 0 , ω 0 e α constantes):

r → ' = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

Beleza?

Esse é o vetor velocidade! Vamos para o vetor aceleração?

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo! Então agora que temos o vetor velocidade, basta derivar ele de novo!

A velocidade é

v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

Para derivar, vamos usar de novo a regra da cadeia, mas também a do produto! Já que temos a multiplicação de duas funções que dependem do tempo (o seno e cosseno nas componentes e o termo dentro dos colchetes)

Derivando temos

d d t v → = - R c o s θ ω 0 + α t . ω 0 + α t - R s e n θ . α i ^ + - R s e n θ ω 0 + α t . ω 0 + α t + R c o s θ . α j ^  

Podemos reescrever de uma forma pouco mais simples:

d d t v → = a → = - R c o s θ ω 0 + α t 2 - R α s e n θ i ^ + - R s e n θ ω 0 + α t 2 - R α c o s θ j ^  

E é isso! Esse é nosso vetor aceleração!

Espero ter ajudado!

Resposta

( a )   v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

a → = - R c o s θ ω 0 + α t 2 - R α s e n θ i ^ + - R s e n θ ω 0 + α t 2 - R α c o s θ j ^

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