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Exercícios Resolvidos de Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

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Enunciado

UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 6 – Questão 03

Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente em tomo de si mesma e emite um feixe de rádio, do mesmo modo como um farol emite um feixe luminoso. Recebemos na Terra um pulso de rádio para cada revolução da estrela. O período T de rotação de um pulsar é determinado medindo o intervalo de tempo entre os pulsos. O pulsar da nebulosa do Caranguejo tem um período de rotação T   =   0,033   s que está aumentando a uma taxa de 1,26 × 10 5   s / a n o .

(a) Qual é a aceleração angular a do pulsar?

(b) Se a se mantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar?

(c) O pulsar foi criado pela explosão de uma supemova observada no ano de 1054. Supondo que a aceleração a se manteve constante, determine o período T logo após a explosão.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Precisamos da aceleração angular, certo?? A ideia aqui é lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade, então:

α = d ω d t

Ok, mas como calcular essa velocidade? Primeiro, vamos notar que o período aumenta com o tempo, certo? Então, ele é algo que varia no tempo T ( t ) . Além disso, nós podemos relacioná-lo com a velocidade angular pela fórmula:

ω = 2 π T t

Beleza? Então, precisamos substituir isso na aceleração e ver o que encontramos!

Passo 2

Substituindo:

α = d d t 2 π T t = 2 π d d t T t - 1

Opa, como o período é uma função do tempo, vamos usar a regra da cadeia:

d d t T t - 1 = - 1 T 2 d T d t

Ok? Só que nós sabemos o quanto está variando T , pois o enunciado nos diz que ele aumenta a uma taxa de d T = 1,26 × 10 5   s / a n o e sabemos que um ano tem d t = 3,16 × 10 7   s / a n o .

Então, é só substituir:

d T d t = 1,26 × 10 5   s / a n o 3,16 × 10 7   s / a n o = 4 × 10 - 13

Passo 3

Dessa forma, podemos achar a aceleração angular, voltando com os resultados na fórmula do início desse passo:

α = - 2 π T 2 d T d t = - 2 π 0,033   s 2 ( 4 × 10 - 13 )

∴

α = - 2,3 × 10 - 9   r a d / s 2

O sinal negativo indica que a aceleração angular é oposta à velocidade angular e o pulsar está desacelerando.

Passo 4

(b) Bom, sabemos a aceleração angular do pulsar e podemos descobrir a velocidade inicial por:

ω 0 = 2 π T

E queremos saber quando ω = 0 , que é quando para de girar. Hmmmm, podemos usar a fórmula da aceleração angular:

α = ∆ ω t = ω - ω 0 t

E o tempo será:

t = ω - ω 0 α

Substituindo o que sabemos:

t = 0 - 2 π T α = - 2 π α T

t = - 2 π ( - 2,3 × 10 - 9   r a d / s 2 ) ( 0,033   s )

∴

t = 8,3 × 10 10   s ≈ 2,6 × 10 3   a n o s

Logo, esse é o tempo que vai demorar até o pulsar parar de girar.

Beleza?

Passo 5

(c) Bom, nesse momento, estou em 2022. Se você é do futuro, deixa um like e se inscreve no canal rs brincadeiras à parte: o pulsar foi criado há 2022 - 1054 = 968 anos. Isso equivale a 968   a n o s 3,16 × 10 7 s a n o = 3,06 × 10 10   s .

Tomando 2022 como o tempo t = 0 , queremos saber a velocidade em t = - 3,06 × 10 10   s , pois queremos saber sua velocidade no passado, para depois acharmos o período por T = 2 π / ω ! Então, sua velocidade há 3,06 × 10 10   s era:

ω = ω 0 + α t = 2 π T + α t

ω = 2 π 0,033   s + ( - 2,3 × 10 - 9   r a d / s 2 ) ( - 3,06 × 10 10   s )

∴

ω = 260   r a d / s

Passo 6

Assim, seu período nesse tempo era:

T = 2 π ω = 2 π 260   r a d / s

∴

T = 2,4 × 10 - 2   s

Prontinho!! Acabou!

Resposta

(a) - 2,3 × 10 - 9   r a d / s 2

(b) 2,6 × 10 3   a n o s

(c) 2,4 × 10 - 2   s

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