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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 6a.

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

a) f x , y = x 2 - y 2 ,     x 2 + y 2 = 4 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão, temos que obter os valores máximos e mínimos de f que estão vinculados à equação x 2 + y 2 = 4 .

Ok, mas o que isso significa?? 👀

De maneira mais direta, temos que encontrar os pontos de máximo e mínimo de f que estão sob a equação do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Para isso, vamos substituir a equação em f , derivar e igualar a 0 , assim obtemos os pontos que satisfazem as soluções formadas por

∂ f ∂ x = 0 ,     ∂ f ∂ y = 0

Assim como fazemos para encontrar os pontos críticos de uma função.

Passo 2

A primeira coisa que fazemos é substituir x 2 + y 2 = 4 em f x , y .

Isolando x 2 em um lado da equação, temos

x 2 + y 2 = 4 → x 2 = 4 - y 2

Agora substituímos em f , resultando em

f y = 4 - y 2 - y 2

f y = 4 - 2 y 2

Fazemos a mesma coisa para y 2

x 2 + y 2 = 4 → y 2 = 4 - x 2

Substituindo em f

f x = x 2 - 4 - x 2

f x = 2 x 2 - 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora derivamos f x e f y e igualamos a 0

Por derivação de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos o expoente por 1 .

f ' x = 2 · 2 x 2 - 1 - 0

f ' x = 4 x

Agora fazemos o mesmo com f y

f ' y = 0 - 2 · 2 y 2 - 1

f ' y = - 4 y

Igualando os resultados a 0 , obtemos o sistema

4 x = 0 - 4 y = 0

Ou seja, os pontos que nos interessam, são quando x = 0 e y = 0 .

Vamos descobrir quais são eles?

Substituímos esses valores na equação que delimita os pontos que queremos, então

x 2 + y 2 = 4

Para x = 0 , temos

0 2 + y 2 = 4 → y = ± 2

Já para y = 0 , vamos ter

x 2 + 0 2 = 4 → x = ± 2

Interessante, não?

Passo 4

Com isso, podemos definir os pontos como a combinação das opções que obtemos

Por exemplo, pra x = 0 , obtemos y = ± 2 , ou seja

P 1 = 0,2 ,   P 2 = 0 , - 2

E para y = 0 , obtemos x = ± 2 , logo

P 3 = 2,0 ,   P 4 = - 2,0

Para sabermos quais desses pontos são máximos ou mínimos, substituímos em f x , y e comparamos os resultados. Por exemplo.

Para o ponto P 1 = 0,2

f 0,2 = 0 2 - 2 2

f 0,2 = - 4

Para o ponto P 2 = 0 , - 2

f 0 , - 2 = 0 2 - - 2 2

f 0 , - 2 = - 4

Está acompanhando?

Passo 5

Para o ponto P 3 = 2,0

f 2,0 = 2 2 - 0 2

f 2,0 = 4

Por fim, para o ponto P 4 = - 2,0

f - 2,0 = - 2 2 - 0 2

f - 2,0 = 4

Comparando os resultados, vemos que nos pontos P 1 e P 2 obtemos os menores valores de f , já nos pontos P 3 e P 4 , obtemos os maiores valores para f . Logo

P 1 ,   P 2 são os pontos de mínimo

P 3 ,   P 4 são os pontos de máximo

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

P 1 ,   P 2 são os pontos de mínimo

P 3 ,   P 4 são os pontos de máximo

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2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny