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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.1e

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

e. z   =   ( 2 x − x 2 ) ( 2 y − y 2 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   =     ( 2 x − x 2 ) ( 2 y − y 2 ) .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos P 0 encontrados:

H ( P 0 ) = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

temos os seguintes critérios:

H ( P 0 ) > 0 e f x x > 0 : P 0 é ponto de mínimo;

H ( P 0 ) > 0 e f x x < 0 : P 0 é ponto de máximo;

H ( P 0 ) < 0 : P 0 é ponto de sela;

H ( P 0 ) = 0 : indeterminado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x =   ( 2 − 2 x ) ( 2 y − y 2 ) = 0 , então x = 1 ou y = 0 ou y = 2 .

∂ y f ( x , y ) = f y =   ( 2 x − x 2 ) ( 2 − 2 y ) = 0 , então y = 1 ou x = 0 ou x = 2 .

Assim, temos que os pontos críticos podem ser

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1 ,   1 ) ,   ( 0 ,   0 ) ,   ( 0 ,   2 ) ,   ( 2 ,   0 ) ,   ( 2 ,   2 ) .

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:

f x x = - 2 ( 2 y − y 2 ) ;

f y y =   - 2 ( 2 x − x 2 ) ;

f x y =   ( 2 − 2 x ) ( 2 − 2 y ) ;

f y x = ( 2 − 2 x ) ( 2 − 2 y ) .

vamos olhar para os determinantes hessianos:

H ( 1 ,   1 ) = 4 ;

H ( 0 ,   0 ) = - 16 ;

H ( 0 ,   2 ) = - 16 ;

H ( 2 ,   0 ) = - 16 ;

H ( 2 ,   2 ) = - 16 .

Então temos que:

Para P 0 = ( 1 ,   1 ) , H ( 1 ,   1 ) > 0 e f x x = - 2 < 0 , então temos um ponto de máximo;

Para P 0 = ( 0 ,   0 ) ,   ( 0 ,   2 ) ,   ( 2 ,   0 ) ,   ( 2 ,   2 ) , H ( P 0 ) < 0 , então temos pontos de sela.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 0 = ( 1 ,   1 ) , ponto de máximo;

P 0 = ( 0 ,   0 ) ,   ( 0 ,   2 ) ,   ( 2 ,   0 ) ,   ( 2 ,   2 ) , pontos de sela.

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