Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 4 Determine os pontos da elipse D = x , y ∈ R 2 x 2 8 + y 2 2 = 1 que fornecem o maior e o menor valor da função f ( x , y ) = x y .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos determinar os pontos de maiores e os menores valores de f x , y = x y na elipse E : x 2 8 + y 2 2 = 1 .

Tem ideia como podemos fazer isso? 🤔

O método dos multiplicadores de Lagrange é uma técnica utilizada para encontrar máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma ou mais restrições, também conhecido como problemas de otimização com restrições.

Para utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, é necessário definir uma função objetivo (a função que se deseja otimizar) e as restrições que limitam a sua otimização, o caso as derivadas parciais de f e da elipse. Em seguida, é necessário montar um sistema de equações que equilibre as restrições com a função objetivo, usando os multiplicadores de Lagrange como variáveis adicionais. A solução deste sistema fornece os pontos críticos da função que satisfazem todas as restrições, ou seja

∂ f ∂ x = λ ∂ E ∂ x ∂ f ∂ y = λ ∂ E ∂ y x 2 8 + y 2 2 = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f

∂ f ∂ x = ∂ x y ∂ x = y

∂ f ∂ y = ∂ x y ∂ y = x

Agora fazemos o mesmo para a elipse E

∂ E ∂ x = ∂ x 2 8 + y 2 2 ∂ x = x 4

∂ E ∂ y = ∂ x 2 8 + y 2 2 ∂ y = y

Montando o sistema, temos

∂ f ∂ x = λ ∂ E ∂ x ∂ f ∂ y = λ ∂ E ∂ y x 2 8 + y 2 2 = 1 → y = λ x 4 x = λ y x 2 8 + y 2 2 = 1

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Isolando λ nas duas primeiras equações

y = λ x 4 → λ = 4 y x

x = λ y → λ = x y

Igualando as duas equações, temos

4 y x = x y → 4 y 2 = x 2

Tirando as raízes nos dois lados...

4 y 2 = x 2 → 2 y = x

Assim, substituindo na equação da elipse.

x 2 8 + y 2 2 = 1 → 4 y 2 8 + y 2 2 = 1

y 2 2 + y 2 2 = 1

y 2 = 1

Logo, vemos que y = ± 1 .

Substituindo esses valores para y na relação entre x e y , temos

2 y = x → x = ± 2

Por fim, os pontos que vamos analisar são obtidos pelas combinações de x = ± 2 e y = ± 1 , ou seja

P 1 = 2,1 , P 2 = 2 , - 1 , P 3 = - 2,1 e P 4 = - 2 , - 1 .

Passo 4

E finalmente, para descobrir quais são os pontos de máximos e de mínimos, aplicamos os pontos que encontramos na função f .

Para o ponto P 1

f 2,1 = 2 · 1 = 2

Para o ponto P 2

f 2 , - 1 = 2 · - 1 = - 2

Para o ponto P 3

f - 2,1 = - 2 · 1 = - 2

E por último, para o ponto P 4

f - 2 , - 1 = - 2 · - 1 = 2

Assim, os pontos de máximos são P 1 = 2,1 e P 4 = - 2 , - 1 e os de mínimos são P 2 = 2 , - 1 e P 3 = - 2,1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Os pontos de máximos são P 1 = 2,1 e P 4 = - 2 , - 1 e os de mínimos são P 2 = 2 , - 1 e P 3 = - 2,1

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