UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 1, Questão 4.
Questão 4 Determine os pontos da elipse que fornecem o maior e o menor valor da função .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema queremos determinar os pontos de maiores e os menores valores de na elipse .
Tem ideia como podemos fazer isso? 🤔
O método dos multiplicadores de Lagrange é uma técnica utilizada para encontrar máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma ou mais restrições, também conhecido como problemas de otimização com restrições.
Para utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, é necessário definir uma função objetivo (a função que se deseja otimizar) e as restrições que limitam a sua otimização, o caso as derivadas parciais de e da elipse. Em seguida, é necessário montar um sistema de equações que equilibre as restrições com a função objetivo, usando os multiplicadores de Lagrange como variáveis adicionais. A solução deste sistema fornece os pontos críticos da função que satisfazem todas as restrições, ou seja
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
Agora fazemos o mesmo para a elipse
Montando o sistema, temos
Bacana, não é? 😊
Passo 3
Isolando nas duas primeiras equações
Igualando as duas equações, temos
Tirando as raízes nos dois lados...
Assim, substituindo na equação da elipse.
Logo, vemos que .
Substituindo esses valores para na relação entre e , temos
Por fim, os pontos que vamos analisar são obtidos pelas combinações de e , ou seja
, , e .
Passo 4
E finalmente, para descobrir quais são os pontos de máximos e de mínimos, aplicamos os pontos que encontramos na função .
Para o ponto
Para o ponto
Para o ponto
E por último, para o ponto
Assim, os pontos de máximos são e e os de mínimos são e
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Os pontos de máximos são e e os de mínimos são e