UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 7
Prove que a função é crescente em todos os pontos
Passo 1
O primeiro passo pra gente determinar se uma função é crescente ou não, é determinar seu(s) ponto(s) crítico(s) e por fim ver no que isso vai dar em alguns intervalos que podemos dividir em 3.
Passo 2
Vamos primeiro derivar nossa função e encontrar o ponto crítico:
Agora, precisamos derivar e igualar a zero para encontrar o ponto crítico!
CALMA, NÃO SE ASSUSTE!!!! NÃO VAMOS PRECISAR CALCULAR AS QUATRO RAÍZES DESSA EQUAÇÃO!
Vem comigo pro passo 3 que tu vai ficar de cara na macetada dessa questão!
Passo 3
Perceba que o intervalo de avaliação dessa função é de , então vamos ter alguns pontos dentro desse intervalo que terão sinal negativo, certo?
E quando a função é crescente? Quando eu pegar valores acima e abaixo do ponto crítico e verificar que sempre teremos uma derivada positiva.
Perceba que isso é verdade pra essa função, pois na sua derivada, todos os termos de potência em são pares, o que isso implica? Isso quer dizer que independente do valor que você colocar em , ao fazer seu valor elevado na potência par, esse resultado sempre será positivo.
Logo, o que podemos escrever é que:
Portanto,
Resposta
Demonstração!!!