UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 2ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 1a
Considere a função .
Determine os pontos críticos de e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo na paz com vocês?
Nessa questão recebemos a função:
E precisamos determinar os pontos críticos na região aberta:
Além disso, precisamos também classificar esses pontos críticos.
Bom galera, pra gente determinar os pontos críticos precisamos fazer:
Fazendo isso podemos montar um sisteminha e descobrir todos os pares de pontos que satisfazer a equação acima.
Depois, podemos substituir esses pontos dentro da equação:
Pra verificar se a desigualdade é verdadeira, e portanto, se o ponto está na região aberta.
Por fim, usamos a matriz Hessiana pra classificar os pontos em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Bora lá!
Passo 2
Temos:
Assim, vamos calcular as derivadas parciais da nossa função pra chegar no gradiente.
Logo:
Para termos um ponto crítico, precisamos que:
Ou seja, o único ponto crítico que encontramos é o ponto .
Esse ponto com certeza está dentro da nossa região aberta, pois:
Beleza! Precisamos apenas determinar se esse é um ponto de máximo, mínimo, ou ponto de sela.
Passo 3
Vamos calculara a nossa matriz Hessiana. Temos que:
onde
Então, antes de mais nada, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Temos:
Então:
Assim, a Hessiana vale:
Ou seja, .
Logo, já podemos concluir que é um ponto de sela.
Prontinho! Matamos a questão 😊
Valeeeeu!
Resposta
ponto de sela