USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.2a
Determine os valores de a para os quais a função
a. tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que encontrar o valor de que permita que a função tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local. Primeiro vamos encontrar os pontos críticos de
.
Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos encontrados:
temos os seguintes critérios:
e : é ponto de mínimo;
e : é ponto de máximo;
: é ponto de sela;
: indeterminado.
Tendo essas informações, vamos avaliar quais valores de nos levam a situação desejada.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:
, então ou e .
, então .
Assim, temos que os pontos críticos podem ser
.
Passo 3
Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:
;
;
;
.
Vamos olhar para os determinantes hessianos:
;
;
;
Temos que encontrar o valor de que permita que a função tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local. Então temos que se :
Para , , então temos um pontos de sela;
Para , e , então temos dois pontos de mínimo.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
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