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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.1f

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

f. z   =   x y e - x 2 - y 2

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   = x y e - x 2 - y 2 .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos P 0 encontrados:

H ( P 0 ) = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

temos os seguintes critérios:

H ( P 0 ) > 0 e f x x > 0 : P 0 é ponto de mínimo;

H ( P 0 ) > 0 e f x x < 0 : P 0 é ponto de máximo;

H ( P 0 ) < 0 : P 0 é ponto de sela;

H ( P 0 ) = 0 : indeterminado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x =   ( 1 - 2 x 2 ) y e - x 2 - y 2 = 0 , então x = ± 1 2 ou y = 0 .

∂ y f ( x , y ) = f y =   ( 1 - 2 y 2 ) x e - x 2 - y 2 = 0 , então y = ± 1 2 ou x = 0 .

Assim, temos que os pontos críticos podem ser

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) =   ( 0 ,   0 ) ,   ( ± 1 2 ,   ± 1 2 ) ,   ( ∓ 1 2 ,   ± 1 2 ) .

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:

f x x = -   4 ( x - x 3 ) y e - x 2 - y 2 ;

f y y = -   4 ( y - y 3 ) x e - x 2 - y 2 ;

f x y =     ( 1 - 2 y 2 ) ( 1 - 2 x 2 ) e - x 2 - y 2 ;

f y x =   ( 1 - 2 x 2 ) ( 1 - 2 y 2 ) e - x 2 - y 2 .

vamos olhar para os determinantes hessianos:

H ( 0 ,   0 ) = - 1 ;

H ( ± 1 2 , ± 1 2 ) = 4 e 2 ;

H ( ∓ 1 2 , ± 1 2 ) = 4 e 2 ;

Então temos que:

Para P 0 = ( 0 ,   0 ) , H ( 0 ,   0 ) < 0 , então temos pontos de sela;

Para P 0 = ( ± 1 2 , ± 1 2 ) , H ( ± 1 2 , ± 1 2 ) > 0 e f x x = - 2 e 2 < 0 , então temos um ponto de máximo;

Para P 0 = ( ∓ 1 2 , ± 1 2 ) , H ( ∓ 1 2 , ± 1 2 ) > 0 e f x x = 2 e 2 > 0 , então temos um ponto de mínimo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 0 = ( 0 ,   0 ) , ponto de sela.

P 0 = ( ± 1 2 , ± 1 2 ) , pontos de máximos;

P 0 = ( ∓ 1 2 , ± 1 2 ) , pontos de mínimos.

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