Máximos e Mínimos, Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Seja , com e de classe em . Suponha que é ponto crítico de , e . Sabendo que e , calcule e
Passo 1
Mano(a), não sei você, mas esse enunciado me confundiu um pouco. Depois de lê-lo umas duas vezes decidi fazer uma listinha XD Vamos lá, foi dado que:
- , sendo que e são funções de .
- é ponto crítico de .
- e
- e
E, com essa parada toda temos que descobrir as derivadas e . Te garanto uma coisa, por falta de informação não vai ser!
Passo 2
Agora, vamos usar o feeling de aluno...
Temos duas funções, e , nas quais aparecem e como argumentos. Logo em seguida, dão duas derivadas de e em relação a e . E, depois, nos pedem as outras duas. E, para que essas derivadas apareçam, podemos derivar pela regra da cadeia em relação a e !
Veja só, se derivarmos e relação a , teremos:
Ou seja, fizemos apenas o produto escalar entre e :D
Vamos, agora fazer o mesmo para a derivada em relação a ? Fica:
Pronto, temos as duas derivadas e , e nelas já aparecem e que queremos descobrir!
Passo 3
Vamos, agora, colocar o ponto nessas derivadas?
Agora que estamos tratando desse ponto, podemos suar todos os dados que o enunciado nos deu!
Pela primeira informação dada sobre o ponto, temos: é ponto crítico de . Isso sigifica que as derivadas em relação a e valem ! Vamos atualizar o sistema?
Passo 4
Show, agora vejamos o que diz a segunda informação: e . Bom, essa é só substituir mesmo né? Fica:
E, por fim, pela terceira informação, temos: e . Colocando no sistema, temos:
Passo 5
Estamos quaaase lá! O que falta? Ainda não podemos resolver o sistema se não calcularmos as derivadas de no ponto , certo? Mas, como foi dada, então isso não é um problema!
Vamos lá, temos que a função é:
derivando em relação a , dá:
E, no ponto é:
Agora, derivando em relação a , dá:
Que no ponto é:
Passo 6
Jogando essas derivadas que acabamos de calcular no sistema, teremos:
E, daí, já temos direto que e ! Viu só? Nem foi tão complicado assim :) Melhor do que quando precisamos derivar a derivada e ficam aquelas coisas gigantes XD
Resposta
e