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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.3a

Determine os pontos críticos de f e classifique-os. Sugestão: é mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada.

a. f ( x ,   y )   =   x   3 y   2  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   =   x   3 y   2 .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E como o enunciado já alertou que é mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para os gráficos dessas funções. Vamos analisar, por meio do gráfico, como a função se comporta perto do ponto crítico que encontramos.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = 3 x 2 y 2 = 0

∂ y f ( x , y ) = 2 x 3 y = 0

Temos os seguintes pontos críticos:

( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   λ ) ,   λ   ∈   R ;

( x 0 ,   y 0 ) = (   λ ,   0 ) ,   λ   ∈   R .

Passo 3

Vamos olhar para o gráfico dessa função:

Então:

Para ( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   λ ) ,   λ   ∈   R , temos pontos de sela, ou seja, nem máximo nem mínimo;

Para ( x 0 ,   y 0 ) = (   λ ,   0 ) ,   λ > 0 , temos pontos mínimos;

Para ( x 0 ,   y 0 ) = (   λ ,   0 ) ,   λ < 0 , temos pontos máximos.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   λ ) ,   λ   ∈   R , pontos de sela;

( x 0 ,   y 0 ) = (   λ ,   0 ) ,   λ > 0 , pontos mínimos;

( x 0 ,   y 0 ) = (   λ ,   0 ) ,   λ < 0 , pontos máximos.

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