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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2e

(2) Considere f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 , definida em todo R 2 . Responda:

e) Determine os pontos críticos de f .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nessa questão nosso objetivo é obter os pontos críticos da função f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 .

Tem ideia de como fazemos isso? 😊

Para determinar os pontos críticos de f calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a 0 , ou seja

∂ f ∂ x = 0

∂ f ∂ y = 0

Obtendo os pontos que satisfazem essa relação, serão os pontos críticos de f

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de f , temos

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ x = 2 x y - y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ y = x 2 - x + y

Igualando ambas as equações a 0 ...

2 x y - y = 0 x 2 - x + y = 0 → 2 x - 1 y = 0 y = x - x 2

Da primeira equação, tiramos que

2 x - 1 y = 0 → y = 0 2 x - 1 = 0 → y = 0 x = 1 2

Portanto o primeiro ponto é dado por P 1 = 1 2 , 0 .

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Da segunda equação encontramos uma curva dada por y = x - x 2

Substituindo na primeira equa�o, encontramos que

2 x - 1 y = 0 → 2 x - 1 x - x 2 = 0

2 x 2 - 2 x 3 - x + x 2 = 0

- 2 x 3 + 3 x 2 - x = 0

Simplificando...

- 2 x 2 + 3 x - 1 x = 0

Dessa equação tiramos que

x = 0 x = 1 2 x = 1

Substituindo na segunda equação...

Para x = 0

y = 0 - 0 2 = 0

Portanto encontramos o ponto P 2 = 0,0

Para x = 1 2

y = 1 2 - 1 2 2 = 1 4

Nesse caso, encontramos o ponto P 3 = 1 2 , 1 4

E por fim para x = 1

y = 1 - 1 2 = 0

Logo, encontramos mais um ponto P 4 = 1,0

Portanto, os pontos críticos de f são dados por

P 1 = 1 2 , 0 P 2 = 0,0 P 3 = 1 2 , 1 4 P 4 = 1,0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

P 1 = 1 2 , 0 P 2 = 0,0 P 3 = 1 2 , 1 4 P 4 = 1,0

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