UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 6c.
6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:
c) , ;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse item, vamos calcular os valores máximos e mínimos de em que os pontos satisfazem a equação .
Ok! Mas como podemos fazer isso??
Já sabemos calcular os pontos críticos de uma função, não é? O processo é muito parecido, a diferença é que vamos substituir alguns parâmetros da equação em , com isso, calcular suas derivadas e igualar a .
Primeiro vamos substituir da equação em . Isolando , temos
Substituindo em , temos
Logo, obtemos a função
Está entendendo? 👀👀
Passo 2
Vamos derivar essa função que encontramos e analisar o que podemos tirar do resultado.
Sabemos que a derivada da soma é a mesma coisa que a soma das derivadas, não é? Então
Como estamos derivando em relação a , a variável se comporta como uma constante e lembrando que a derivada de uma constante é igual a .
Por derivada polinomial, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente. Com isso, derivando cada uma das derivadas, temos
Substituindo esses valores em , temos
Interessante, não é? 😎😎
Passo 3
Apenas com essa derivada não podemos tirar nenhuma conclusão relevante a respeito dos pontos de máximos e mínimos. Vamos derivar em função de agora.
Agora é a vez de se comportar como uma constante, então onde não temos para derivar, podemos admitir que é sem medo.
Agora com as outras derivadas, vamos aplicar o método de derivação de polinômios novamente.
Substituindo esses resultados em , temos
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Para obter os pontos críticos de uma função, igualávamos suas derivadas a , não é? Vamos fazer o mesmo aqui
Com isso, obtemos o sistema
Resolvendo esse sistema, vamos encontrar
Com isso, vamos substituir esses valores na nossa equação e obter o valor para
Portanto, encontramos um único ponto dado por
Bacana, não é?
Passo 5
Por fim, vamos verificar qual valor de vamos obter com esse ponto e comparar com outro ponto qualquer que satisfaça nossa equação. Por exemplo o ponto .
Se por maior que , o ponto é um ponto de máximo, caso o contrário é um ponto de mínimo.
Para o ponto
Vemos que é menor, logo se existe apenas um ponto que representa os máximos e mínimos, o ponto é o ponto mínimo de associado à equação!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Ponto Mínimo: