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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 1, Questão 6.

Questão 6 Determine e classifique todos os pontos críticos da função f ( x , y ) = x 3 - 12 x y + 8 y 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter os pontos críticos de f e classificá-los como pontos de máximos, mínimos ou pontos de sela.

Entendeu o que temos que fazer? 😁

Para encontrar os pontos críticos de uma função multivariável, devemos encontrar os valores de x e y onde a função tem gradientes iguais a zero ou onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são iguais a zero.

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Calculando o gradiente de f , temos

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = ∂ x 3 - 12 x y + 8 y 3 ∂ x , ∂ x 3 - 12 x y + 8 y 3 ∂ y

Derivando pelo método de derivação polinomial

∇ f = 3 x 2 - 12 y , 24 y 2 - 12 y

Igualando a um vetor nulo, temos

3 x 2 - 12 y , 24 y 2 - 12 x = 0,0

3 x 2 - 12 y = 0 24 y 2 - 12 x = 0 → x = 4 y 2 y 2 = x

Igualando as duas equações

4 y = 2 y 2 → 4 y = 4 y 4

y = y 4

Portanto y tem que ser igual a 1 ou 0 para essa igualdade ser satisfeita.

Assim, se y = 0 , então

x = 4 0 = 0

E se y = 1

x = 4 1 = 2

Então temos apenas dois pontos críticos...

P 1 = 0,0 e P 2 = 2,1

Legal, né? 😉

Passo 3

Agora vamos classificar esses pontos!

Pra isso vamos montar nossa matriz Hessiana

H = f x x f x y f y x f y y

Ou seja, temos que calcular as segundas derivadas de f

Se f x = 3 x 2 - 12 y e f y = 24 y 2 - 12 x , então derivando pelo método de derivação polinomial novamente...

f x x = 6 x

f x y = - 12

f y x = - 12

f y y = 48 y

Logo, nossa matriz será

H = 6 x - 12 - 12 48 y

Assim, vamos classificar os pontos P 1 e P 2 substituindo suas coordenadas na matriz e calculando o determinante.

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , então o ponto é ponto de mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , então o ponto é ponto de máximo.

Se D e t H < 0 , então o ponto é ponto sela.

Para o ponto P 1 ...

H P 1 = 6 0 - 12 - 12 48 0 = - 144

Para P 2 ...

H P 2 = 6 2 - 12 - 12 48 1 = 432

Então, P 1 0,0 é ponto sela e P 2 2,1 é ponto mínimo!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

P 1 0,0 é ponto sela e P 2 2,1 é ponto mínimo

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