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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.3b

Determine os pontos críticos de f e classifique-os. Sugestão: é mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada.

. f ( x ,   y )   = 1 x 2 y 2 + 1 + s e n   y  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   = 1 x 2 y 2 + 1 + s e n   y   .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E como o enunciado já alertou que é mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para os gráficos dessas funções. Vamos analisar, por meio do gráfico, como a função se comporta perto do ponto crítico que encontramos.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = 2 x y 2 ( x 2 y 2 + 1 ) 2 = 0

∂ y f ( x , y ) = 2 x 2 y ( x 2 y 2 + 1 ) 2 + c o s   y = 0

Temos que para x = 0 :

c o s   y = 0

então,

y = ( 2 n + 1 ) π 2 , n   ∈   Z   .

Assim, os pontos críticos são:

( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   ( 2 n + 1 ) π 2 ) .

Passo 3

Vamos olhar para o gráfico dessa função:

Então:

Com y = ( 2 n + 1 ) π 2 , n   ∈   Z  

Para n = 2 k par: ( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   ( 4 k + 1 ) π 2 ) , k   ∈   Z , temos pontos de máximos;

Para n = ( 2 k + 1 ) ímpar: ( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   ( 4 k + 3 ) π 2 ) , k   ∈   Z , temos pontos de sela, ou seja, nem máximos nem mínimos.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Para n = 2 k par: ( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   ( 4 k + 1 ) π 2 ) , k   ∈   Z , pontos de máximos;

Para n = ( 2 k + 1 ) ímpar: ( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   ( 4 k + 3 ) π 2 ) , k   ∈   Z , pontos de sela.

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