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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Máximos e mínimos

Considere a função

f x , y = e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 ,     x , y ∈ R 2

  1. Explicite as coordenadas de um vetor normal não nulo N ao gráfico de f em um ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0
  2. Encontre todos os pontos críticos de f x , y
  3. Encontre todos os pontos x , y tais que o normal N ao gráfico em x , y , f x , y seja paralelo ao vetor 0,0 , - 3

Passo 1

a )

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, chamar f x , y de z e achar a função F x , y , z

f x , y = z = e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2

F x , y , z = z - e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F x , y , z

Passo 2

O gradiente vai ser

∇ F = F x , F y , F z

F x = - 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - e 2 x + 3 y 16 x - 6 y = - 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y

F y = - 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - e 2 x + 3 y 6 y - 6 x = - 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 2 y - 2 x

F z = 1

Então

n → = ∇ F x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0

n → = - 2 e 2 x 0 + 3 y 0 8 x 0 2 - 6 x 0 y 0 + 3 y 0 2 + 8 x 0 - 3 y 0 , - 3 e 2 x 0 + 3 y 0 8 x 0 2 - 6 x 0 y 0 + 3 y 0 2 + 2 y 0 - 2 x 0 , 1

Passo 3

b )

Os pontos críticos são aqueles onde o gradiente de f x , y vai ser 0 . Lembrando que

F x = - f x

F y = - f y

Então

f x = 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0

f y = 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 2 y - 2 x = 0

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 2 y - 2 x = 0

Vamos ter o sistema

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 2 y - 2 x = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema, para isso primeiro subtraímos a primeira equação da segunda.

Vamos cancelar os 3 primeiros termos e encontrar

8 x - 3 y - 2 y + 2 x = 0

10 x - 5 y = 0

2 x = y

E agora? Podemos substituir essa relação em uma das duas equações, vamos fazer na segunda

8 x 2 - 6 x 2 x + 3 2 x 2 + 2 2 x - 2 x = 0

8 x 2 - 12 x 2 + 12 x 2 + 4 x - 2 x = 0

8 x 2 + 2 x = 0

2 x 4 x + 1 = 0

Isso nos diz que

x 1 = 0

x 2 = - 1 4

Precisamos achar os respectivos valores de y

x 1 = 0 ⇒ y 1 = 2 x 1 = 2.0 = 0

x 2 = - 1 4 ⇒ y 2 = 2 x 2 = 2 . - 1 4 = - 1 2

Logo os pontos críticos são

0,0

- 1 4 , - 1 2

Passo 5

c )

Qualquer vetor paralelo ao vetor 0,0 , - 3 precisa ser proporcional a ele, ou seja,

k 0,0 - 3 = 0,0 , - 3 k

Isso nos diz que todos os vetores paralelos vão ter coordenadas x e y iguais a zero, ou seja,

F x = 0

F y = 0

Mas lembra que

F x = - f x

F y = - f y

Isso nos diz que

f x = 0

f y = 0

Que por acaso são os pontos críticos, então os pontos que ele quer são

0,0

- 1 4 , - 1 2

Resposta

  1. n → = - 2 e 2 x 0 + 3 y 0 8 x 0 2 - 6 x 0 y 0 + 3 y 0 2 + 8 x 0 - 3 y 0 , - 3 e 2 x 0 + 3 y 0 8 x 0 2 - 6 x 0 y 0 + 3 y 0 2 + 2 y 0 - 2 x 0 , 1
  2. 0,0   e   - 1 4 , - 1 2
  3. 0,0   e   - 1 4 , - 1 2

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