UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 6b.
6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:
b) , ;
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse item b) vamos obter os pontos máximos e mínimos de que estão sob a equação da elipse que foi dada.
Ou seja, temos que obter os máximos e mínimos de que fazem parte de .
Ok, mas como vamos calcular esses pontos em ?? 🤔🤔
De maneira mais direta, temos que fazer substituições da equação em , derivar e igualar a .
A partir daí, vamos obter um sistema. Logo a combinação das soluções que encontrarmos, vão ser os pontos que vamos estudar.
Por exemplo, e .
Temos que fazer alguma manipulação na equação para que possamos substituí-la em .
Podemos isolar em um lado da igualdade tal que
Tirando a raiz dos dois lados para eliminar a potência de , temos
Mas e aí, o que fazemos com isso?
Passo 2
Passo 3
Agora substituímos em
Com isso, temos que derivar e igualar a .
Para obter essa derivada, vamos partir para a regra do produto que diz que quando temos o produto entre duas funções (), a derivada é dada como
Ou seja
Porém, perceba que na derivada de , vamos ter que aplicar a regra da cadeia, já que se trata de uma função composta.
Vamos ver mais sobre isso
A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função do tipo , no caso e . A derivada de é dada por
Perceba que é substituída por uma variável qualquer em . Logo
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Substituindo essa informação em , temos
Assim, podemos calcular as derivadas separadamente pra facilitar a visualização do que estamos fazendo
Por derivação de polinômios, a derivada de é obtida multiplicando a variável pela potência e subtraindo do expoente. Lembrando que a derivada de uma constante é igual a .
Da mesma forma, podemos obter a derivada de , onde reescrevendo como temos
Não podemos esquecer de substituir por de volta!
Já para a derivada de , pelo mesmo princípio das anteriores.
Está acompanhando?
Passo 5
Substituindo esses resultados em , temos
Manipulando um pouquinho esse resultado, temos
Aplicando as propriedades dos radicais
Fatorando o numerador, vamos resultar em
E finalmente, temos
Relaxa, estamos quase no fim! 👀
Passo 6
Vamos igualar o resultado que obtemos a e encontrar a solução
Para essa igualdade ser satisfeita, podemos ignorar o denominador e olhar apenas para o numerador já que se não temos solução. Logo
Já encontramos duas coordenadas para , resta substituirmos esse valor na equação para encontrar os valores para .
Com isso, encontramos que
A partir desses resultados, vamos determinar os pontos que vamos verificar como sendo a combinação dos resultados que obtemos. Ou seja
Tem ideia do que podemos fazer para verificar quais são máximos e quais são mínimos?
Passo 7
Vamos substitui-los em e analisar os resultados que vamos obter, veja só
Para o ponto
Para o ponto
Para o ponto
Por fim, para o ponto
Comparando os resultados, vemos que os pontos e são os pontos de máximo já que obtemos o maior valor com eles. Já os pontos e são os pontos de mínimo já que obtemos o menor valor de com eles.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
Pontos de Máximos:
Pontos de Mínimos: