Questão 1

b) Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por quê ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se tem um mínimo local em e é diferenciável em , então

O enunciado diz que é diferenciável, então podemos afirmar que a derivada direcional é dada tanto pela definição, quanto pela formula a seguir:

Onde é um vetor unitário:

Utilizando a definição de derivada direcional vamos ter:

Agora, vamos calcular esse limite. Vamos ter dois casos:

Como

Temos:

Como

Temos:

Logo, pelo teorema do sanduíche, temos:

Então, temos o seguinte:

Como essa equação tem de ser verdadeira para qualquer direção do vetor , a única possibilidade é :

Logo, a afirmativa é verdadeira.