Defina o que é ponto crítico de uma função diferenciável. Ache os pontos de mínimo e máximo da função

f(x, y) = x² - 2xy + y²

Sobre o conjunto B = { (x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 1 }

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, os pontos críticos de uma função de várias variáveis são aqueles onde as derivadas parciais valem zero.

Então, vamos pegar a função do enunciado e começar a derivar:

f x , y = x 2 - 2 x y + y ²

∂ f ∂ x = 2 x - 2 y

∂ f ∂ y = 2 y - 2 x

Show, agora vamos igualar cada uma a zero:

∂ f ∂ x = 2 x - 2 y = 0 → x = y

∂ f ∂ y = 2 y - 2 x = 0 → x = y

Ou seja, vimos que teremos pontos críticos quando x = y .

Pela equação do conjunto B :

x 2 + y 2 = 1

2 x 2 = 1

x = ± 2 2

Então, teremos os pontos:

P 1 = - 2 2 , - 2 2

P 2 = + 2 2 , + 2 2

Passo 2

Vamos agora substituir os valores dos pontos encontrados na função:

f x , y = x 2 - 2 x y + y ²

P 1 = - 2 2 , - 2 2

P 2 = + 2 2 , + 2 2

Substituindo:

f P 1 = - 2 2 2 - 2 - 2 2   - 2 2 + - 2 2 2

f P 1 = 2 4 - 4 4 + 2 4 = 0

f P 2 = 2 2 2 - 2 2 2   2 2 + 2 2 2

f P 2 = 2 4 - 4 4 + 2 4 = 0

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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