Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal
Seja , em que , .
E seja , com .
- Calcule o gradiente e os pontos críticos de .
- Seja . Calcule e os pontos críticos de .
- Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de no ponto . Explicite um vetor normal não nulo ao plano tangente neste ponto.
Passo 1
- Partiu derivar essa função pra encontrar o vetor gradiente!
Se tratarmos como constante, derivando em relação a teremos:
E derivando em relação a , tratando como constante, teremos:
E montando o vetor gradiente, teremos:
Passo 2
Agora, vamos encontrar os pontos críticos! Para isso, devemos igualar o vetor gradiente a :
E, na real, é o mesmo que resolver o sistema:
Passo 3
Passando o olho pelas equações, vemos que, para a segunda ser , ou , ou . Mas esse último aparece no denominador da equação de cima, então não seria nada legal tê-lo igual a ! Então parece uma boa estratégia ver o valor de que zera a segunda equação e substituí-lo na primeira equação para saber o :
Isso é verdade para :
Mas pelos limites dados pelo enunciado, , então ficamos apenas com a segunda opção.
Passo 4
Colocando na primeira equação teremos:
Aqui vai uma dica: Nunca corte variáveis sem verificar se podem ser colocada em evidência, ou se tem alguma resposta logo de cara. Aqui, como temos no numerador de cada uma das frações, e a soma delas é , então, se colocarmos , com certeza a soma vai dar !
Enfim, sabendo que é uma solução, prossigamos:
Agora sim, cortamos o e:
Show! Temos todos os possíveis valores de , .
Passo 5
Agora só juntamos o valor que tínhamos usado para para chegar nesses valores de . Com , podemos montar os pontos críticos:
Passo 6
b) Aqui é só usar a regra da cadeia, pela definição mesmo:
Já temos a expressão para o gradiente de , então só precisamos substituir a equação de nele:
Passo 7
Agora que temos , podemos fazer o produto escalar pela derivada de para encontrar o vetor gradiente.
Show? Encontrarmos :D
Passo 8
Agora para encontrar os pontos críticos de , precisamos igualar a :
Para que isso aconteça, devemos ter , logo, (poderia ser , mas os limites definidos no enunciado não permitem essa opção).
E pronto, fechamos a resposta da letra !
Passo 9
c) Segura que só falta uma! E com tudo o que calculamos até agora, vai ser simples ;)
Tudo o que precisamos fazer é calcular o plano tangente no ponto para a função . Assim, seguindo o passo a passo, primeiro encontramos :
E então dizemos que o vetor gradiente de será:
Por que tem contribuições em e por , então as duas primeiras coordenadas do gradiente são o próprio gradiente de , e o único que aparece em é esse , que, derivado, vira a terceira coordenada do gradiente, .
Passo 10
Agora, substituiremos o ponto no gradiente, e teremos o vetor normal nesse ponto:
Passo 11
Com o vetor normal e o ponto de tangência do plano, já temos a equação dele! Basta fazer:
E teremos:
Desenvolvendo os produtos escalares, fica:
Resposta
- Gradiente:
- , Ponto Crítico:
- Plano Tangente:
Pontos Críticos:
Vetor Normal: