UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 6d.
6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:
d) , .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão o enunciado nos deu uma função e nos disse para encontrar os pontos valores máximos e mínimos dessa função que estão vinculados à equação .
Ok, mas você tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔
Se vamos analisar a parte de que está contida na equação, temos que substituir a equação em , correto?
Pra isso, isolamos uma variável da equação e substituímos em , por exemplo, podemos isolar , onde
Tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente de
Com isso, substituindo em , vamos ter
O que fazíamos para encontrar os pontos de máximos e mínimos de uma função? Derivávamos e igualávamos a , não é?
Aqui vamos fazer a mesma coisa! Bora lá?
Passo 2
Vamos derivar nosso novo com relação a , tal que
Lembrando que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo
Por enquanto, o maior desafio é aplicar a regra da cadeia na derivada de .
A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função composta, como no nosso caso onde e , logo
Na derivada de , vamos substituir por uma variável qualquer.
Com isso, nossa derivada de será
Substituindo essa informação em
Podemos separar mais um pouquinho pra ficar
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Vamos derivar as derivadas separadamente para ter mais controle do que estamos fazendo
Por derivada de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente
Já onde temos apenas ou uma constante, a derivada é , já que estamos derivando com relação a .
Substituindo essas informações em , temos
Vamos juntar tudo em um termo só
Porém não podemos deixar o resultado em função de , então temos que volta-lo a
Ou seja
Interessante, não é? 🤩
Passo 4
Vamos igualar a e ver se conseguimos obter algum ponto
Se essa condição é verdadeira então
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz
Com isso, temos
A partir dessa equação não podemos tirar nenhum ponto, então vamos ter que ir em busca de outra equação.
Podemos derivar com relação a dessa vez
Perceba que vamos seguir os mesmos passos de calcular a derivada de pela regra da cadeia, então vamos cortar um caminho pra ganharmos tempo
Está acompanhando? 👀👀
Passo 5
Agora é a vez de se comportar como uma constante, logo onde temos apenas ou uma constante para derivar a resultante é
Já pelo princípio da derivada de polinômios, temos
Como já calculamos a derivada de , podemos escrever o resultado diretamente
Substituindo esses resultados em , temos
Juntando tudo em um termo só, temos
Simplificando e substituindo por , temos
Entendeu? 😁
Passo 6
Igualando a , temos
Nosso denominador não pode ser , logo
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, temos
Com isso encontramos um sistema de equações
Resolvendo esse sistema, vamos obter
Ou seja, tirando a raiz dos dois lados, temos
Substituindo na equação, temos
Analisando , podemos afirmar que os pontos extremos vão acontecer quanto , e tiverem o mesmo sinal, assim a magnitude de vai ser o máximo.
Passo 7
Vamos substituir os pontos em e ver qual a imagem que eles formam e comparar qual o maior e qual o menor.
Para o ponto
Já para o ponto
Com isso, descobrimos que o ponto é máximo e o ponto é mínimo
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Ponto de Máximo:
Ponto de Mínimo: