Suponha que a função tem um ponto crítico em no espaço. Se e são números reais positivos, então a função tem um ponto crítico em
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) a informação é insuficiente
Passo 1
Essa é uma questão mais teórica, mas você vai ver que não tem mistério!
é um ponto crítico de , ou seja nesse ponto as derivadas parciais se anulam, ou uma delas não existe, certo?
Vamos primeiro considerar que as derivadas parciais valem zero:
Agora vamos dar uma olhada na função :
Repare que as derivadas parciais da são as derivadas parciais da multiplicando ! O , constante, some. Pelas regras básicas de derivação, temos:
Passo 2
E no ponto as derivadas parciais da são todas iguais a zero né?? Ótimo, então elas também vão ser zero pra :
Então nesse caso o ponto também é um ponto crítico da !
Passo 3
Agora vamos ver o caso em que é um ponto crítico da porque uma das derivadas parciais não existe.
Quando dizemos que a derivada parcial não existe é porque ela não é definida nesse ponto. Vamos supor, por exemplo, que a derivada parcial de em relação a não existe. E, como já vimos:
Ou seja:
A só é a multiplicada por uma constante, então ela também não existe!
Portanto, em qualquer um dos casos o ponto é ponto crítico da .
Resposta
Alternativa (a)