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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.2d

Determine os valores de a para os quais a função f ( x ,   y )   =   2 a x 4   +   y 2   − a x 2   - 2 y

d. Existe a ∈ R para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se existe a   ∈   R para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos. Primeiro vamos encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   = 2 a x 4   +   y 2   − a x 2   - 2 y .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . Tendo essas informações, vamos avaliar quais valores de a nos levam a situação desejada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x = ( 8 x 2   − 2 ) a x   = 0 , então a = 0 ou x = 0 e x = ± 1 2 .

∂ y f ( x , y ) = f y =   2 y - 2 = 0 , então y = 1 .

Assim, temos que os pontos críticos podem ser

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) =   ( λ ,   1 ) ( a = 0 ,   λ   ∈   R ) ,   ( 0,1 ) ( a   ∈   R ) ,   ( ± 1 2 , 1 ) ( a   ∈   R ) .

Passo 3

Olhando para os pontos críticos obtidos, temos que se a = 0 teremos mais de três pontos críticos:

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) =   ( λ ,   1 ) ( a = 0 ,   λ   ∈   R ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a = 0 .

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1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny