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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 2.1c

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

c. z   =   l n ( 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 )  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   =   l n ( 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 )   .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos P 0 encontrados:

H ( P 0 ) = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

temos os seguintes critérios:

H ( P 0 ) > 0 e f x x > 0 : P 0 é ponto de mínimo;

H ( P 0 ) > 0 e f x x < 0 : P 0 é ponto de máximo;

H ( P 0 ) < 0 : P 0 é ponto de sela;

H ( P 0 ) = 0 : indeterminado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x = 6 x - 2 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 = 0 , então x = 1 3 ;

∂ y f ( x , y ) = f y = 8 y 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 = 0 , então y = 0 .

Assim, temos que o ponto crítico é

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1 3 ,   0 ) .

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:

f x x = 6 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 - ( 6 x - 2 ) 2 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 ;

f y y = 8 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 - 64 y 2 ( 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 ) 2 ;

f x y = - 8 y ( 6 x - 2 ) ( 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 ) 2 ;

f y x = ( 6 x - 2 ) 8 y ( 3 x 2   +   4 y 2 − 2 x + 7 ) 2 .

Então, no ponto crítico

f x x ( 1 3 ,   0 ) = 6 1 3   − 2 3 + 7 = 18 20 = 9 10 ;

f y y ( 1 3 ,   0 ) = 8 1 3   − 2 3 + 7 = 24 20 = 6 5 ;

f x y ( 1 3 ,   0 ) = 0 ;

f y x ( 1 3 ,   0 ) = 0 .

vamos olhar para o determinante hessiano:

H ( 1 3 ,   0 ) = 9 10 6 5 - 0

então, H ( 1 3 ,   0 ) > 0 e f x x ( 1 3 ,   0 ) > 0 . Logo, P 0 = ( 1 3 ,   0 ) é um ponto de mínimo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 0 = ( 1 3 ,   0 ) , ponto de mínimo.

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