Considere a função .

1. Calcule o vetor gradiente de .
2. Encontre os pontos críticos de
3. Encontre os pontos do gráfico de onde o plano tangente é paralelo ao plano .
4. Escreva a aproximação linear de no ponto
5. Determine apenas um ponto do gráfico de onde a reta normal é paralela ao vetor Dica: uma reta é normal ao gráfico de uma função no ponto do gráfico se a reta passa por este ponto e se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal de em .
6. Considere a curva de nível . Exiba a equação paramétrica da reta tangente a no ponto .

b) Agora que temos o vetor gradiente, para encontrar os pontos críticos basta igualá-lo a !

Ou seja,

Logo,

Só precisamos resolver o sistema e teremos os pontos críticos! Pela equação de cima, vemos que:

Show? Agora é pegar essa relação e jogar na equação de baixo. Se trocarmos todo que aparecer por , teremos:

E, resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

Logo, ou , ou

Como pela primeira relação temos que , então os pontos críticos são e .

E letra fechada!

c) Pensa comigo, o que significa o plano tangente ao gráfico de ser paralelo ao plano ? Significa que todos os vetores tangentes a superfície nesse ponto, que formam o plano tangente, tem derivadas em relação a e em relação a iguais a , por estão na horizontal, certo? Isso não é exatamente o que fizemos no passo anterior? Igualamos as derivadas parciais a e descobrimos os pontos críticos!

Então já sabemos que as coordenadas e dos pontos de tangência desses planos são e .

Agora temos que ver o valor da função para esses pontos, que vão fornecer a coordenada dos pontos.

Para o ponto , temos:

E o ponto de tangência é

Para o ponto , temos:

E o ponto de tangência é

d) Aproximação linear? É só um nome bonito para Plano Tangente...

Ok, já temos o vetor gradiente da função, que é:

Para o ponto , o valor do vetor é:

Aí você chega e pergunta: mas Patusco, por que o vetor só tem duas coordenadas? Não era pra ter ? Isso mesmo! Normalmente, quando a função está na forma explícita (que é esse tipo, , com apenas duas variáveis) a terceira coordenada do vetor gradiente vale .

Isso acontece porque a função pega duas coordenadas e leva num terceiro valor, ela é do tipo . Então, podemos dizer que:

mas também

E, então,

Substituindo pela sua expressão em função de e , temos:

Show? Agora vemos que, derivando essa função em relação a , temos . E as derivadas em relação a e a são exatamente as mesmas que as de , pois a única diferença entre e é essa que aparecer!

Espero não ter ficado muita informação de uma vez só, mas depois de tudo isso, podemos dizer que o vetor gradiente da superfície é:

Agora que temos o vetor gradiente, temos que encontrar a terceira coordenada do ponto da superfície! Colocando esse ponto em , temos:

E o ponto de tangência é :)

Temos o ponto de tangência e o vetor normal a esse ponto, que é o vetor gradiente. Então, temos tudo! Só pensar agora que esse vetor normal é perpendicular a todos os vetores do plano tangente, ou seja, o produto escalar entre o vetor gradiente e todo vetor do plano é !

Podemos representar esse “conjunto de vetores” do plano de maneira genérica, dizendo que eles partem do ponto de tangência, , e vão até outro ponto, . Então, temos que fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor e igualar a :

Desenvolvendo o produto escalar, temos:

Passando todas constantes para o lado direito, temos:

E aí está a linearização da nossa função :D

e) Vamos interpretar a missão: temos um ponto, digamos, da superfície formada por . Em tal ponto, a reta normal à superfície é paralela ao vetor . Bom, se a reta é paralela a esse vetor, então seu vetor diretor também é paralelo! E mais, se ele são paralelos, então podemos dizer que um é múltiplo do outro.

E qual é esse vetor normal à superfície? É o próprio vetor gradiente, lembra!? E, como já calculamos, o vetor é:

Se ele é múltiplo do vetor , então,

Igualando as terceiras coordenadas, temos direto o valor de :

Agora que sabemos o valor de , só jogar nas primeira e segunda coordenadas igualadas de cada vetor:

Da primeira equação, temos que:

Jogando esse valor de na segunda equação, temos:

E pela equação do segundo grau,

E aí temos que ou , ou .

Como o enunciado pede pra determinar apenas um ponto (acho que é pra sobrar mais tempo de prova... se alguém percebeu se tem algum outro motivo avisa XD), então vamos fazer o caminho de volta, jogando, por exemplo, na primeira equação:

E um dos pontos é . Só pra tirar esse feio daí, vamos substituir na equação pra descobrir a terceira coordenada :

E aí está, nosso ponto é :D

f) Aguenta firme! Essa é a última! E é bem rápida de fazer, considerando que já temos tudo na mão... Vamos lá, estão nos pedindo pra calcular a reta tangente à no ponto , sendo uma curva de nível de , certo? Então, encontraremos uma equação paramétrica para essa tangente dizendo que ela é perpendicular ao vetor gradiente de nesse mesmo ponto!

Show, vamos ver então qual é o vetor gradiente em ?

E, como esse vetor é perpendicular à superfície no ponto , com certeza é perpendicular à curva , que está na superfície!

Agora vem uma manha de vetores, que lembro que usei quando fiz o vestibular da PUC: para girar um vetor em , inverte as coordenadas do vetor, pega o resultado e muda o sinal da primeira.

Tá, e pra que falei isso? Porque se o vetor é perpendicular à curva, então o vetor perpendicular a ele será tangente à curva! É tipo pensar que o inimigo do seu inimigo é seu amigo XD

Então, girando o vetor em , temos o vetor . Coloquei esse menos aí na frente do pra você lembrar de trocar o sinal da primeira coordenada depois de ter invertido o vetor! Isso é bem importante! E aí conseguimos um vetor que é tangente à curva, e pode ser o vetor diretor da nossa reta tangente!

Tomando o vetor como vetor diretor, tudo o que temos que fazer é multiplicá-lo por um parâmetro e transladá-lo para o ponto de tangência: