Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

1. Qual é o ângulo entre os vetores a → = 3 x ^ - 4 y ^ e b → = - 2 x ^ + 3 z ^ . Dica: Lembrar quer a → · b → = a x b x + a y b y + a z b z = a b cos ⁡ θ e considerar que cos ⁡ 110 ° = - 0 ,   34 .

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Nessa questão temos dois vetores, a → = 3 x ^ - 4 y ^ e b → = - 2 x ^ + 3 z ^ . Com isso, queremos obter o ângulo entre eles.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Pra resolver esse problema podemos usar o produto interno entre esses dois vetores.

O produto interno entre dois vetores pode ser calculado como

a → · b → = a x b x + a y b y + a z b z

E também como

a → · b → = a → b → cos ⁡ θ

Entendeu? 😉

Passo 2

Assim se igualarmos as duas equações, vamos obter

a x b x + a y b y + a z b z = a → b → cos ⁡ ��

cos ⁡ θ = a x b x + a y b y + a z b z a → b →

Sacou? 😁

Vamos começar obtendo os módulos de a e b ...

a → = a x 2 + a y 2 + a z 2

Como a → = 3 x ^ - 4 y ^ , então

a → = 3 2 + - 4 2 + 0 2

a → = 5

Agora para b →

b → = b x 2 + b y 2 + b z 2

Se b → = - 2 x ^ + 3 z ^ ...

b → = - 2 2 + 0 2 + 3 2

b → = 13

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Substituindo essas informações em cos ⁡ θ ...

cos ⁡ θ = 3 · - 2 + - 4 · 0 + 0 · 3 5 · 13

cos ⁡ θ = - 6 5 13

cos ⁡ θ = - 0,33

Como foi dado no enunciado que cos ⁡ 110 ° = - 0 ,   34 , vamos dizer que

θ ≅ 110 °

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

θ ≅ 110 °

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