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Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Física Fundamental II, Listas de Física 2 - Profº Victor Oliveira - Lista de Revisão - Análise Vetorial e Lei de Colulomb, Questão 5a

5. Calcule o divergente ∇ · r → e o rotacional ∇ × r → das seguintes funções vetoriais:

(a) r a → = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma função vetorial r a → = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^ e nosso objetivo é calcular o divergente ∇ · r → e o rotacional ∇ × r → dessa função.

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente de uma função é muito parecido com o gradiente de uma função escalar, porém no divergente a coordenada em x é derivada parcialmente em x e a coordenada em y é derivada parcialmente em y e a mesma coisa com z .

∇ · r → = ∂ r x ∂ x + ∂ r y ∂ y + ∂ r z ∂ z

Já o rotacional de um vetor é dado pelo determinante da matriz que segue a seguinte estrutura...

∇ × r → = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z r x r y r z

Sacou, bora começar! 😉

Passo 2

Começando pelo divergente da função r a → = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^ , temos

∇ · r a → = ∂ r a x ∂ x + ∂ r a y ∂ y + ∂ r a z ∂ z

∇ · r a → = ∂ x 2 ∂ x + ∂ 3 x z 2 ∂ y + ∂ - 2 x z ∂ z

Derivando pelo método de derivação polinomial...

∇ · r a → = 2 x + 0 - 2 x

∇ · r a → = 0

Gostou? 😁

Passo 3

Agora vamos obter o rotacional de r a → = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^

∇ × r a → = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z r a x r a y r a z = ∂ r a z ∂ y - ∂ r a y ∂ z x ^ + ∂ r a x ∂ z - ∂ r a z ∂ x y ^ + ∂ r a y ∂ x - ∂ r a x ∂ y z ^

∇ × r a → = ∂ - 2 x z ∂ y - ∂ 3 x z 2 ∂ z x ^ + ∂ x 2 ∂ z - ∂ - 2 x z ∂ x y ^ + ∂ 3 x z 2 ∂ x - ∂ x 2 ∂ y z ^

Pelo método de derivação polinomial...

∇ × r a → = 0 - 6 x z x ^ + 0 - - 2 z y ^ + 3 z 2 - 0 z ^

∇ × r a → = - 6 x z x ^ + 2 z y ^ + 3 z 2 z ^

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∇ · r a → = 0

∇ × r a → = - 6 x z x ^ + 2 z y ^ + 3 z 2 z ^

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