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Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Fundamentos de Física – Mecânica. Halliday e Resnick. 9ª edição. Capítulo 3, exercício 15.

Os vetores a → e b → da Fig. 3-28 têm o mesmo módulo, 10,0   m , e os ângulos mostrados na figura são θ 1 = 30 ° e θ 2 = 105 ° . Determine as componentes (a) x e (b) y da soma vetorial r → dos dois vetores, (c) o módulo de r → e (d) o ângulo que r → faz com o semieixo x positivo.

Passo 1

Como esta é uma questão de soma de vetores vamos iniciar decompondo os dois vetores dados em componentes.

Após escrever os vetores em função das componentes, vamos fazer a soma vetorial:

a → + b → = r → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Em seguida, com o vetor resultante escrito em função das componentes, vamos aplicar a definição de módulo de vetor:

r → = r x 2 + r y 2

E, por fim, usaremos a trigonometria para determinar o ângulo que r → faz com o semieixo x positivo.

Passo 2

Escrevendo o a → em função das componentes:

a x = a cos ⁡ θ 1

a y = a sin ⁡ θ 1

Substituindo os valores dados no enunciado:

a x = 10 cos ⁡ 30 ° = 8,66   m

a y = 10 sin ⁡ 30 ° = 5,00   m

Então temos

a → = a x i ^ + a y j ^ a → = 8,66 i ^ + 5,00 j ^

Passo 3

Para escrever o vetor b → em função das componentes, vamos ilustrá-lo inidividualmente no plano cartesiano para podermos visualizar melhor o ângulo formado com o semieixo positivo de x :

Com essa ilustração conseguimos perceber que o ângulo que o vetor b → faz com o semieixo positivo de x é:

θ b = θ 1 + θ 2

Substituindo os valores:

θ b = 30 ° + 105 ° = 135 °

Portanto, escrevendo b → em função das componentes:

b x = b c o s θ b

b y = b s i n θ b

Substituindo os valores:

b x = 10 cos ⁡ 135 ° = - 7,07   m

b y = 10 sin ⁡ 135 ° = 7,07   m

Então temos

b → = b x i ^ + b y j ^ b → = - 7,07 i ^ + 7,07 j ^

Passo 4

Com os valores das componentes dos vetores em mãos podemos fazer o somatório vetorial definido no passo 1 , logo:

r → = a → + b → = 8,66 + - 7,07 i ^ + 5,00 + 7,07 j ^

r → = 1,59 i ^ + 12,07 j ^

Como r → = r x i ^ + r y j ^  

  1. r x = 1,59 m
  2. r y = 12,07 m

    3. Passo 5

  3. Agora, aplicando a definição de módulo de vetor, também anunciado no passo 1 :

    4. r → = 1,59 2 + 12,07 2

    r = 12,17   m

    Passo 6

  4. Para determinar o ângulo que o vetor r → faz com o semieixo positivo x vamos representa-lo no plano cartesiano para conseguir visualizar melhor:

Tendo em mente que:

r x = r c o s   θ r

Isolando o cosseno:

cos ⁡ θ r = r x r

Isolando o θ r :

θ r = arccos ⁡ r x r

Substituindo os valores:

θ r = arccos ⁡ 1,59 12,17 = 82,49 °

Resposta

  1. r x = 1,59   m ;
  2. r y = 12,07   m ;
  3. r = 12,17   m ;
  4. θ r = 82,49 ° .

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