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Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Física Fundamental II, Listas de Física 2 - Profº Victor Oliveira - Lista de Revisão - Análise Vetorial e Lei de Colulomb, Questão 5b

5. Calcule o divergente ∇ · r → e o rotacional ∇ × r → das seguintes funções vetoriais:

(b) r b → = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma função vetorial r b → = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ e nosso objetivo é calcular o divergente ∇ · r → e o rotacional ∇ × r → dessa função.

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente de uma função é muito parecido com o gradiente de uma função escalar, porém no divergente a coordenada em x é derivada parcialmente em x e a coordenada em y é derivada parcialmente em y e a mesma coisa com z .

∇ · r → = ∂ r x ∂ x + ∂ r y ∂ y + ∂ r z ∂ z

Já o rotacional de um vetor é dado pelo determinante da matriz que segue a seguinte estrutura...

∇ × r → = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z r x r y r z

Sacou, bora começar! 😉

Passo 2

Começando pelo divergente da função r b → = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ , temos

∇ · r b → = ∂ r b x ∂ x + ∂ r b y ∂ y + ∂ r b z ∂ z

∇ · r b → = ∂ x y ∂ x + ∂ 2 y z ∂ y + ∂ 3 z x ∂ z

Derivando pelo método de derivação polinomial...

∇ · r b → = y + 2 z + 3 x

∇ · r b → = 3 x + y + 2 z

Gostou? 😁

Passo 3

Agora vamos obter o rotacional de r b → = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^

∇ × r b → = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z r b x r b y r b z = ∂ r b z ∂ y - ∂ r b y ∂ z x ^ + ∂ r b x ∂ z - ∂ r b z ∂ x y ^ + ∂ r b y ∂ x - ∂ r b x ∂ y z ^

∇ × r b → = ∂ 3 z x ∂ y - ∂ 2 y z ∂ z x ^ + ∂ x y ∂ z - ∂ 3 z x ∂ x y ^ + ∂ 2 y z ∂ x - ∂ x y ∂ y z ^

Pelo método de derivação polinomial...

∇ × r b → = 0 - 2 x x ^ + 0 - 3 z y ^ + 0 - x z ^

∇ × r b → = - 2 x x ^ - 3 z y ^ - x z ^

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∇ · r b → = 3 x + y + 2 z

∇ × r b → = - 2 x x ^ - 3 z y ^ - x z ^

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