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Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

Fundamentos de Física – Mecânica. Halliday e Resnick. 9ª edição. Capítulo 3, exercício 21.

Uma formiga, enlouquecida pelo Sol em um dia quente, sai correndo em um plano x y . As componentes ( x e y ) de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em centímetros: 30,0 ;   40,0 , b x ;   - 70,0 , ( - 20,0 ;   c y ) ; ( - 80,0 ;   - 70,0 ) . O deslocamento resultante das quatro corridas tem componentes (   - 140 ;   - 20,0 ) . Determine (a) b x e (b) c y . Determine (c) o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento total.

Passo 1

Para resolver este tipo de problema a gente lembra que para somar dois vetores a gente soma cada uma de suas componentes e multiplica pelo unitário associado. Assim ó:

r → = a → + b → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Além disso, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor r → é dado por:

r = r x 2 + r y 2 + r z 2

E o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ r y r x

Neste problema nós conhecemos três vetores completos ( a → = 30 i ^ + 40 j ^ , d → = - 80 i ^ - 70 j ^ e r → = - 140 i ^ - 20 j ^ ) e dois vetores incompletos ( b → = b x i ^ - 70 j ^ e c → = - 20 i ^ + c y j ^ ) e precisamos determinar as componentes escalares dos vetores que estão incompletos ( b x e c y ) e também o ângulo do deslocamento total em relação ao semieixo x positivo ( θ r ).

Passo 2

Para resolver este problema, escreveremos a soma vetorial dos quatro deslocamentos:

r → = a → + b → + c → + d →

Substituindo os valores:

( - 140 i ^ - 20 j ^ ) = 30 i ^ + 40 j ^ + b x i ^ - 70 j ^ + - 20 i ^ + c y j ^ + ( - 80 i ^ - 70 j ^ )

Passo 3

Agora, somamos as componentes do eixo x para determinar b x :

- 140 = 30 + b x - 20 - 80

Isolando b x :

b x = - 140 - 30 + 20 + 80 = - 70   c m

Passo 4

Para determinar c y faremos de maneira análoga ao passo anterior, porém somaremos as componentes do eixo y :

- 20 = 40 - 70 + c y - 70

Isolando c y :

c y = - 20 - 40 + 70 + 70 = 80   m

Passo 5

Para determinar o ângulo que o vetor r → faz com o semieixo x positivo usaremos a equação:

θ r = tan - 1 ⁡ r y r x = tan - 1 ⁡ - 20 - 140 = 8,1 °   o u   188,1 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor r → possui a componente x e a componente y negativas, então este só pode estar no terceiro quadrante, pois é o único cujo o seno e cosseno são negativos, portanto:

θ c = 188,1 °

Resposta

  1. b x = - 70   c m ;
  2. c y = 80   c m ;
  3. θ r = 188,1 ° .

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