Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

Ver Teoria
Exercício 601234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859616263

Enunciado

UFPA, Sem Campus, Física Fundamental II, Listas de Física 2 - Profº Victor Oliveira - Lista de Revisão - Análise Vetorial e Lei de Colulomb, Questão 5c

5. Calcule o divergente ∇ · r → e o rotacional ∇ × r → das seguintes funções vetoriais:

(c) r c → = y 2 x ^ + 2 x y + z 2 y ^ + 2 y z z ^

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Nesse problema foi dada uma função vetorial r c → = y 2 x ^ + 2 x y + z 2 y ^ + 2 y z z ^ e nosso objetivo é calcular o divergente ∇ · r → e o rotacional ∇ × r → dessa função.

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente de uma função é muito parecido com o gradiente de uma função escalar, porém no divergente a coordenada em x é derivada parcialmente em x e a coordenada em y é derivada parcialmente em y e a mesma coisa com z .

∇ · r → = ∂ r x ∂ x + ∂ r y ∂ y + ∂ r z ∂ z

Já o rotacional de um vetor é dado pelo determinante da matriz que segue a seguinte estrutura...

∇ × r → = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z r x r y r z

Sacou, bora começar! 😉

Passo 2

Começando pelo divergente da função r c → = y 2 x ^ + 2 x y + z 2 y ^ + 2 y z z ^ , temos

∇ · r c → = ∂ r c x ∂ x + ∂ r c y ∂ y + ∂ r c z ∂ z

∇ · r c → = ∂ y 2 ∂ x + ∂ 2 x y + z 2 ∂ y + ∂ 2 y z ∂ z

Derivando pelo método de derivação polinomial...

∇ · r c → = 0 + 2 x + 2 y

∇ · r c → = 2 x + 2 y

Gostou? 😁

Passo 3

Agora vamos obter o rotacional de r c → = y 2 x ^ + 2 x y + z 2 y ^ + 2 y z z ^

∇ × r c → = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z r c x r c y r c z = ∂ r c z ∂ y - ∂ r c y ∂ z x ^ + ∂ r c x ∂ z - ∂ r c z ∂ x y ^ + ∂ r c y ∂ x - ∂ r c x ∂ y z ^

∇ × r c → = ∂ 2 y z ∂ y - ∂ 2 x y + z 2 ∂ z x ^ + ∂ y 2 ∂ z - ∂ 2 y z ∂ x y ^ + ∂ 2 x y + z 2 ∂ x - ∂ y 2 ∂ y z ^

Pelo método de derivação polinomial...

∇ × r c → = 2 z - 2 z x ^ + 0 - 0 y ^ + 2 y - 2 y z ^

∇ × r c → = 0 x ^ + 0 y ^ + 0 z ^

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∇ · r c → = 2 x + 2 y

∇ × r c → = 0 x ^ + 0 y ^ + 0 z ^

Exercícios de Livros Relacionados

Um explorador polar foi surpreendido por urna nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, deveria ter caminhado 5,6k m para o
Em um jogo de xadrez ao ar livre, no qual as peças ocupam o centro de quadrados com 1,00m de lado, um cavalo é movido da seguinte forma: (1) dois quadrados para a frente e um quadrado para a direita;
Um vetor deslocamento r → no plano x y tem 15m de comprimento e faz um ângulo θ = 30 ° com o semieixo x positivo, como mostra a Fig 3-26. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vetor.
Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de um vetor a → do plano x y que faz um ângulo de 250 ° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo e tem um módulo de 7,3m ?
Uma formiga, enlouquecida pelo Sol em um dia quente, sai correndo em um plano x y . As componentes ( x e y ) de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em centímetros: 30,0