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Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Física Fundamental II, Listas de Física 2 - Profº Victor Oliveira - Lista de Revisão - Análise Vetorial e Lei de Colulomb, Questão 4

4. Qual o gradiente ∇ r de r = x 2 + y 2 + z 2 (também conhecido como magnitude do vetor

posição r → )?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dado uma função r x , y , z e apenas temos que obter o gradiente dessa função.

De boa? 👀

Pra calcular o gradiente de uma função, temos que lembrar dos conceitos de derivadas parciais de uma função.

O gradiente de uma função nada mais é que a soma das derivadas parciais dessa função, ou seja

∇ r = ∂ r ∂ x + ∂ r ∂ y + ∂ r ∂ z

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se r = x 2 + y 2 + z 2 , derivando r parcialmente com relação a x , as variáveis y e z se comportam como uma constante...

∂ r ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x

Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora), temos

∂ r ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x ∂ u ∂ u

∂ r ∂ x = 2 x · 1 2 u

Simplificando e voltando u para x 2 + y 2 + z 2

∂ r ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

A mesma coisa com relação a y e z , veja só

∂ r ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

∂ r ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Substituindo no gradiente de r , temos

∇ r = ∂ r ∂ x + ∂ r ∂ y + ∂ r ∂ z

∇ r = x x 2 + y 2 + z 2 + y x 2 + y 2 + z 2 + z x 2 + y 2 + z 2

∇ r = x + y + z x 2 + y 2 + z 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∇ r = x + y + z x 2 + y 2 + z 2

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