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Exercícios Resolvidos de Componentes de Vetores e Vetores Unitários

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Física Fundamental II, Listas de Física 2 - Profº Victor Oliveira - Lista de Revisão - Análise Vetorial e Lei de Colulomb, Questão 6

6. Calcule a seguinte integral:

∫ 0 L 2 z z 2 + x 2 3 / 2 d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos apenas que calcular a integral

∫ 0 L 2 z z 2 + x 2 3 / 2 d x

Parece tranquilo? 🤔

O problema é que essa integral não é nada trivial então precisamos aplicar algum método para facilitar nossa vida.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 👀

Passo 2

O segredo aqui é usar o método de substituição trigonométrica.

Se fizermos x = z t g u , temos

d x d u = d z t g u d u = z s e c 2 u

d x = z s e c 2 u d u

Substituindo na integral, temos que adaptar os limites de integração

x f = L = z t g u f → x f = t g u f = L z

u f = t g - 1 L z

x i = 0 = z t g u i → x i = t g u i = 0 z

u i = 0

Logo...

∫ 0 L 2 z z 2 + x 2 3 / 2 d x → ∫ 0 t g - 1 L z 2 z z 2 + z t g u 2 3 / 2 z s e c 2 u d u

Simplificando essa função de integração...

∫ 0 t g - 1 L z 2 z 2 s e c 2 u z 2 + z 2 t g 2 u 3 / 2 d u

∫ 0 t g - 1 L z 2 z 2 s e c 2 u z 2 1 + t g 2 u 3 / 2 d u

∫ 0 t g - 1 L z 2 z 2 s e c 2 u z 2 3 / 2 s e c 2 u 3 / 2 d u

∫ 0 t g - 1 L z 2 z 2 s e c 2 u z 3 s e c 3 u d u

∫ 0 t g - 1 L z 2 z s e c u d u

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Tirando a constante 2 z da integral e como 1 sec ⁡ u = cos ⁡ u , temos

2 z ∫ 0 t g - 1 L z 1 s e c u d u → 2 z ∫ 0 t g - 1 L z cos ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ u é igual a s e n u , portanto

2 z ∫ 0 t g - 1 L z cos ⁡ u d u = 2 z s e n u 0 t g - 1 L z

2 z ∫ 0 t g - 1 L z cos ⁡ u d u = 2 z s e n t g - 1 L z - s e n 0

2 z ∫ 0 t g - 1 L z cos ⁡ u d u = 2 z s e n t g - 1 L z

Com isso, chegamos que

∫ 0 L 2 z z 2 + x 2 3 / 2 d x = 2 z s e n t g - 1 L z

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 L 2 z z 2 + x 2 3 / 2 d x = 2 z s e n t g - 1 L z

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