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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos aplicar a Regra da Cadeia nessa função:

g ' x = arctg ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

Isso será, pela Cadeia, a derivada de arctg ⁡ x , 1 1 + x 2 , com o 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x no lugar desse x , multiplicado pela derivada do 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x .

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

A derivada dessa raiz também sai pela Regra da Cadeia:

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x '

Agora, a Regra do Produto para esse último termo:

1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 2 1 - cos ⁡ x ' 1 + cos ⁡ x - 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ' 1 + cos ⁡ x 2

1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 2 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x - 1 - cos ⁡ x - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

= 1 1 + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

Passo 2

Dando uma boa arrumada nesse cara, teremos:

= 1 1 + cos ⁡ x + 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

= 2 sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 2 1 + cos ⁡ x 1 2  

= sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 2 1 - cos ⁡ x 1 2  

= sen ⁡ x 2 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 2  

= sen ⁡ x 2 1 - cos 2 ⁡ x 1 2   = sen ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x 1 2

= sen ⁡ x 2 sen ⁡ x

Como tem esse módulo aí, é melhor não cortar seno com seno, se não vai ficar uma função mais complexa.

Resposta

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